Главная Общая акустика - создание упругих волн



в узкополосном по частоте сигнале все составляющие имеют близкие фазовые скорости.

Уточним, что значит требование «достаточной узости» спектра волны. Групповая скорость получается одинаковой для любой пары составляющих только приближенно, в результате приравнивания отношений конечных разностей (со- (»о)/(- о) производной ddildk в точке к. В действительности эти отношения вообще отличны от производной, и поэтому огибающая будет постепенно менять свою форму, причем тем быстрее, чем шире спектр волны. Для того чтобы найти, в течение какого времени и на каком расстоянии можно еще пренебрегать изменением формы огибающей для волны с заданной шириной спектра, учтем следующий член разложения отношения со- (»о)/(-о) по малой величине к - к.

Члены высших порядков по отношению к малой разности волновых чисел к-ко опущены. Вызванная опусканием второго члена ошибка в фазе составляющих за время Т не превысит

где S.k - ширина спектра волновых чисел. Пока эта ошибка остается малой по сравнению с единицей, можно считать, что огибающая не меняет своей формы и движется с групповой скоростью, определяемой как и = da/dk в точке ко. Таким образом, время, в течение которого можно считать огибающую неизменной, должно удовлетворить неравенству

dw \ / du

Так как огибающая движется со скоростью и, то отсюда следует, что она сохраняет свою форму на отрезке пути /, удовлетворяющем неравенству

* (du/dk)„ (Дй)2 •

Для данного времени пробега Т или данной длиньГпробега волны t можно считать спектр узким и применять понятие групповой скорости, а огибающая волны сохранит свою форму, если выполнены условия

T(duldk), liduldk)o

соответственно.



§ 28. Распространение широкополосного сигнала в диспергирующей среде

Воспользуемся теперь понятием групповой скорости для того, чтобы выяснить, как передается в диспергирующей среде волновой сигнал с произвольно большой шириной спектра. Это можно сделать, хотя для такого сигнала в целом нет какой-либо определенной групповой скорости и огибающая сигнала изменяется на рассматриваемом участке пробега волны.

В самом деле, такой широкополосный сигнал всегда можно нредставить в виде некоторой интерференционной картины, образованной суперпозицией ряда узкополосных сигналов, соответствующих каждый узкому участку спектра (рис. 28.1). Каждая группа волн, отвечающая даннбму узкому участку спектра, распространяется со своей групповой скоростью. Групповые скорости


Рис. 28.1. Разбиение широкополосного спектра на множество узкополосных спектров.

разных групп будут вообще различны, так как различны их несущие частоты. Поэтому по мере распространения сигнал будет «расползаться»: группы с большей групповой скоростью опередят группы с меньшей групповой скоростью и короткий исходный импульс превратится в длинную группу, вдоль которой будет меняться не только амплитуда, но и несущая частота. При этом в голове группы будут находиться волны, для которых групповая скорость имеет наибольшее значение, а в хвосте группы - волны с наименьшей групповой скоростью. Диспергирующая среда производит как бы спектральное разложение сигнала, раздвигая в пространстве (и по времени прихода в отдаленную точку) группы с различными несущими частотами.

Так, короткий импульс изгибных волн на стержне растягивается таким образом, что впереди оказываются волны короткие, а позади-длинные (см. рис. 4.2). Напротив, короткий импульс гравитационных волн на поверхности воды превращается по мере распространения в колебание, начинающееся с больших длин • волн и кончающееся короткими волнами. Например, гравитационные волны цунами, вызванные землетрясением на дне океана, пробежав большое расстояние по поверхности моря, обрушиваются на берег в виде очень длинной волны (длина свыше 10 км, период 10-15 и более минут), после чего приходят более короткие волны высших частот. В обоих случаях первыми приходят волны с большей фазовой скоростью. Форма звукового сигнала, принимаемого в воде от дальнего взрыва, произведенного в глубине моря, растягивается на многие секунды и приобретает осциллирующий характер, указывающий на наличие дисперсии звука



при таком распространении. Аналогичная картина наблюдается и при дальнем приеме взрыва, произведенного в атмосфере или в толще земли.

Дисперсия скорости звука в атмосфере, в океане и в земной коре обусловлена неоднородностью среды и влиянием границ (дно и поверхность воды, земная поверхность). Эта дисперсия оказывает сильное влияние на распространение звука. При распространении в море сигнал, приходящий по воде (звук взрыва приходит раньше всего по земной коре, скорость звука в которой много больше, чем скорость звука в воде), начинается с волн, обладающих наименьшей фазовой скоростью, так как именно эти волны имеют наибольшую групповую скорость, а время прихода волн данной частоты определяется их групповой, а не фазовой скоростью.

§ 29. Пространственное спектральное разложение по плоским волнам

Теперь вернемся к вопросу о пространственном спектральном разложении волн. В § 24 мы упоминали, что если известно распределение поля гармонической сложной волны на какой-либо плоскости, то распространение этой волны удобно изучать, разлагая ее на суперпозицию гармонических плоских волн. Пусть на плоскости задано распределение давлений или нормальных скоростей частиц. Тргда, как известно из теории дифференциальных уравнений, в отсутствие волн, приходящих из бесконечности, поле в полупространстве, прилегающем к плоскости и не содержащем источников звука, определяется по заданному полю на границе единственным образом.

Отсутствие источников проверяется тем, что волновое уравнение удовлетворяется во всем полупространстве. Приход волн из бесконечности имеет следующие признаки: для плоских волн признаком прихода из бесконечности является отрицательность компоненты волнового вектора вдоль нормали к плоскости, обращенной внутрь данного полупространства. Для полей более сложной формы признаком наличия волн, приходящих из бесконечности, служит следующее: если в среде есть сколь угодно малое затухание, то для создания конечного поля на данной плоскости поле на бесконечности должно было бы быть бесконечным. Поэтому достаточно проверить, как будет вести себя на бесконечности поле, если, сохраняя поле на данной плоскости, ввести слабое затухание в среду. Это можно сделать, приписывая в выражениях для волн волновому числу малую положительную мнимую часть, что равносильно, как увидим в гл. ХП, наличию малого затухания звука в среде. Если в результате этого амплитуда той или иной волны будет стремиться к бесконечности по мере удаления от плоскости, то такая волна будет прихо-дящей.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [26] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0106