Главная Общая акустика - создание упругих волн



Будем ниже рассматривать случай, когда приходящих волн нет. Поле в полупространстве можно тогда считать полем, излученным заданным распределением"! давлений или нормальных скоростей частиц на плоскости. Давления можно осуществить силами, перпендикулярными к плоскости и распределенными с требуемой плотностью. Нормальные скорости частиц можно создать, сообщая соответственные нормальные скорости точкам плоскости.

Схема нахождения поля в полупространстве в виде суперпозиции плоских волн такова. Пусть задано гармоническое поле на плоскости (давление или нормальная скорость) как некоторая функция двух координат. Разложим заданное распределение , давления или нормальной скорости в двойной ряд (или интеграл) по Фурье. Компоненты разложения будут иметь вид (опускаем амплитуду) ехр (-iat + il,x + jti«/), т. е. будут представлять собой двухмерные плоские волны одной и той же частоты, бегущие по плоскости 2 = О с разными скоростями. Если удастся к каждой такой двухмерной волне пристроить уходящую от плоскости трехмерную волну (на это можно надеяться потому, что каждая трехмерная волна создает на плоскости двухмерную волну как свой след), то суперпозиция всех найденных уходящих волн будет иметь на плоскости заданное распределение давлений (или. Нормальных скоростей) и явится, в силу теоремы единственности, искомым разложением поля в полупространстве на плоские волны.

§ 30. Поршневое излучение

Начнем выполнять намеченную в предыдущем параграфе программу для простейшего случая поршневого излучения, когда на плоскости задано равномерное распределение давления или скорости частиц. В этом случае задача решается совсем просто, даже если отказаться!от гармоничности волны. В самом деле, пусть на границе 2 - 0 задано равномерное распределение давления р (t) и требуется «пристроить» к этому распределению уходящую от плоскости в полупространство 2 > О волну, которая обращалась бы на плоскости 2 = О в эту заданную функцию времени. Легко видеть, что бегущая от границы волна

p = p-{t-z/c) (30.1)

есть искомое решение.

Проследим на этом примере, к чему привел бы отказ от требования отсутствия приходящих волн. Если не ставить этого требования, то, очевидно, волна

p = p{t + z/c) (30.2)

также удовлетворит условию на плоскости г - 0. Более того, волна

р = Ap(t- zlc) -\.{\ - A)p{t + zlc) (30.3)



при любом А также удовлетворит условию на границе. Поставив требование ухода волны от плоскости, мы выбрали определенную акустическую ситуацию: излучение звука границей. Решение (30.2) соответствует падению волны, пришедшей из бесконечности, на идеальный поглотитель (таким поглотителем могло бы быть просто второе полупространство z < О, заполненное той же средой).

Наконец, решение (30.3) соответствует отражению на данной плоскости волны, пришедшей из бесконечности, с коэффициентом отражения, равным Л/(1 - А). Таким образом, все три задачи отвечают вполне реальным ситуациям, каждая из которых дает на плоскости одно и то же поле; выбор решения определяется не только распределением давления на плоскости, но и условиями задачи в целом. Мы выбрали условие отсутствия приходящих волн; это уже определяет выбор решения (30.1) однозначно.

Попытаемся теперь пристраивать уходящие плоские волны к другим распределениям давления на исходной плоскости, причем больше не будем оговаривать подразумеваемое в дальнейшем требование ухода волны на бесконечность.

§ 31. Пристраивание плоской волны в среде к бегущейволне давления на плоскости

Пусть распределение давления на плоскости z = О задано в виде

р = poQxp {ilx - iat). (31.1)

Здесь I-волное число двухмерной гармонической волны ча-. стоты 0), бегущей в плоскости z = О вдоль оси х. Для того чтобы пристроить к этой бегущей волне плоскую волну в пространстве, вспомним (§ 17), что след любой гармонической плоской волны на плоскости есть двумерная волна с той же частотой и амплитудой давления и с волновым числом, равным проекции волнового вектора k пространственной волны на плоскость. Значит, в нашей задаче есть проекция на плоскость z = О волнового вектора искомой волны.

На рис. 31.1 дано построение для нахождения искомого волнового вектора. На оси х отложен отрезок и из конца его восстановлен перпендикуляр в плоскости xz до пересечения с окружностью, описанной в той же плоскости радиусом k = со/с из начала отрезка. Волновой вектор искомой волны соединяет центр окружности с точкой пересечения. Решений оказывается два: одно соответствует волне, бегущей от плоскости, - это и есть нужное нам решение; второе соответствует волне, приходящей из бесконечности, и поэтому мы должны его отбросить. Компонента по оси Z волнового вектора пристроенной волны равна У- 1, так что окончательное решение для уходящей волны



имеет вид

р = Ро ехр (ilx + iYk*~ *z).

(31.2)

Болну в пространстве, пристроенную к двухмерной волне на плоскости, называют спектром. Угол скольжения 6 спектра отно-•сительно плоскости z - О определяется равенствами

cos е = Ilk, sin е = у 1 - (l/kf.

(31.3)

Рис. 31.1. Построение волнового вектора k плоской гармонической волны данной частоты по волновому числу g ее следа на плоскости Z = 0. Построение возможно только для g й.

Заметим, что скорость у = волны на плоскости больше скорости с = calk волны в пространстве: у = c/cos 6.

Проследим, как будет меняться спектр при изменении волнового числа I двухмерной волны фиксированной частоты, заданной на плоскости. При 1 = 0 давление распределено равномерно по всей плоскости: в полупространство излучится волна, бегущая перпендикулярно к плоскости (е = 90°). Это- уже рассмотренный случай поршневого излучения. С увеличением волновой вектор спектра начнет поворачиваться и угол скольжения будет уменьшаться. При = k угол скольжения обратится в нуль и волна будет бежать вдоль плоскости. При I > .г никакой плоской волны в полупространстве, следом которой явилась бы данная волна на плоскости, быть не может, так как проекция волнового вектора не может быть больше величины самого вектора. Это ограничение можно формулировать еще и так: чтобы к данной гармонической волне на плоскости можно было пристроить плоскую волну в пространстве, скорость (и длина волны) на плоскости должна быть больше скорости (и длины волны) в среде.

Можно попытаться продолжить заданное распределение давлений на плоскости в виде волны в полупространстве и для более сложных случаев. В самом деле, при известных ограничениях заданное распределение давления, меняющееся с течением времени по гармоническому закону, можно разложить на плоскости в ряд или в интеграл Фурье по координате. Волна, пристроенная к такому распределению, представится суперпозицией спектров, соответствующих каждой из бегущих волн разложения Фурье.

Такой прием позволил бы решить задачу об излучении звука плоскостью, на которой задано произвольное распределение давлений, если бы не ограничение, указанное выше: волновые



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 [27] 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0205