Главная Общая акустика - создание упругих волн



числа гармонических волн на плоскости должны быть меньше волнового числа в среде, соответствуюш,его заданной частоте. Поэтому не всякое распределение поля на плоскости можно продолжить при помощи спектров в полупространство, а только такое, которое не содержит компонент с волновым числом, превосходящим волйовое число волны данной частоты в среде. Это значит, что не удастся продолжить в среду компоненты, бегущие по плоскости медленнее, чем волна в среде. «Мелкая» структура распределения, которая при данной частоте как раз и соответствует малым длинам волн, малой скорости и большим волновым числам, «не продолжается» в среду в виде плоских волн.

Однако удобство спектральных разложений так велико, что имеет смысл обобщить понятие плоской волны так, чтобы оно охватило и такие волны, следы которых были бы синусоидами, скорость которых могла бы быть сколь угодно мала и, значит, волновое число следа - сколь угодно велико. При этом придется поступиться другими свойствами компонент: они фактически будут не плоскими волнами, и старое название имеет смысл сохранить только потому, что эти волны можно записать аналитически в той же форме, что и «настоящие» плоские волны. Такие «обобщенные» плоские волны называют неоднородными плоскими волнами, в отличие от «обычных» плоских волн, которые называют однородными.

§ 32. Неоднородные плоские волны

Итак, будем искать гармонические волны, след которых на какой-нибудь плоскости есть синусоидальная волна, бегущая медленнее плоской волны в среде. Для простоты рассмотрим сначала плоскую задачу, считая, что движение частиц происходит в плоскости XZ и не зависит от координаты у. Тогда уравнение (22.2) можно записать в виде

i>+$ + «., = 0. (32Л>

Будем искать решение в виде р = (z), считая, что % >> Подставляя в (32.1), получим уравнение для / (z):

-S--(r-)/ = 0, где l-k>Q, Решая это уравнение, находим

где положено а - Yl - k. Очевидно, всегда а < Таким образом, искомая неоднородная волна имеет вид

" р = ехр (tA: -az), (32.2>

причем - - k\



в отличие от однородных плоских волн, эту волну нельзя представить как одномерную: ее фронты совпадают с плоскостями X = const, но амплитуда колебаний вдоль фронтов не постоянна, а меняется экспоненциально (рис. 32.1). След волны на оси z есть синфазное колебание, экспоненциально убывающее или, нарастающее вдоль оси в зависимости от знака а. Вся волна перемещается как твердое тело в направлении оси х, перпендикулярно


Рис. 32.1. Двухмерный профиль неоднородной волны (ср. рис. 17.1). а - направление быстрейшего изменения фазы (направление бега волны), б - направление быстрейшего изменения амплитуды.

К фазовым фронтам. Вспомним, что для однородной волны направление перемещения волны как твердого тела было неопределенным, и мы условно выбрали его как направление, перпендикулярное к фронтам волны. Для неоднородных волн такой неопределенности нет и принятая нами условность оказывается обоснованной, так как однородную плоскую волну можно считать предельным случаем неоднородной волны при а -» 0. Скорость волны есть

у = -= " Она может быть как угодно мала, если

S / fe

только коэффициент экспоненты а достаточно велик по абсолютной величине, т. е. если амплитуда колебания достаточно быстро меняется вдоль оси z. След волны на оси, проведенной по любому другому направлению, будет синусоидальным по фазе и экспоненциально меняющимся по амплитуде. Ось х - направление быстрейшего изменения фазы (при постоянной амплитуде). Ось z - направление быстрейшего изменения амплитуды (при постоянной фазе). Эти два направления взаимно перпендикулярны.

Три отрезка длиной k, и (при > Е) и соответственно три отрезка k, I н а (при k <1) всегда образуют прямоугольные треугольники. Воднородной волне гипотенузой служит k, а в не-




однородной, бегущей вдоль оси х, гипотенузой служит Ъ,. На рис. 32.2 показаны эти геометрические соотнощения.

Формально неоднородную волну можно записать в той же форме, что и однородную, вводя мнимые медленности следов волны. Так, полагая ~ \, = ia, можем записать (32.2) в том же виде, что и обычную однородную волну. Формальное сходство можно еще больше подчеркнуть, вводя и для неоднородной волны угол скольжения. В однородной волне величины kx и k равны, как мы видели, соответственно cos 9 и k sin 9, где 9- угол скольжения относительно оси х (угол между волновым вектором и осью х). Для неоднородной волны можно получить те же формулы, если ввести мнимый угол скольжения 9 = fij) согласно соотношению cos 9 = I = ch Тогда /г sin 9 = ia = ik sh гз. Таким образом, неоднородную волну можно рассматривать как гармоническую волну с комплексным волновым вектором, образующим с заданной плоскостью мнимый угол скольжения. Рис 32.2. Геометрические

Очевидно, неоднородная волна не мо- волГоГо "в:

жег существовать во всем неограниченном тора по осям координат пространстве, так как ее амплитуда растет для однородной и для не-в одну сторону оси Z бесконечно. Если а однородной волны при положительно, то в полупространстве одинаковой частоте. Z > О может существовать волна ехр (tx-

-az), а в полупространстве z<0-волна exp{ilx + az). В слое, заключенном между двумя плоскостями, параллельными плоскости Z = О, могут существовать обе неоднородные волны.

Неоднородная плоская волна не является чисто продольной волной: скорость f частиц имеет компоненту, перпендикулярную к направлению распространения волны. В самом деле, из (32.2) следует

Е ia

Интегрируя повремени, найдем компоненты смещения частиц:

=-P =WP Переходя к вещественной записи, имеем u. = -e--sin(lx-0)0. и. = - е-" cos Цх - <d).

Исключая множители, содержащие время, найдем уравнение траектории частиц:



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [28] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0213