Главная Общая акустика - создание упругих волн



Частицы в неоднородной волне движутся по эллипсам с полуосями е-«"Е/рш2 и e-Wpco с центрами в местах невозмущенного положения частиц. Большая ось лежит в направлении быстрейшего изменения фазы, т. е. в направлении распространения волны; малая ось - в направлении быстрейшего изменения амплитуды.

Неоднородная плоская волна, в отличие от однородной, может существовать и в несжимаемой среде. В самом деле, в несжимаемой среде /г = О, так что уравнение (32.1) принимает вид Ар = 0. В этом случае возможны волны вида р = ехр (ix-z). Приблизительно такой вид имеют, например, гравитационные волны на поверхности воды. Хотя вода и сжимаема, но скорость гравитационных волн настолько мала (десятки м/сек по сравнению с 1500 м/сек- скоростью звука в воде), что величиной можно пренебрегать по сравнению с 1. Вообще, для плоских волн критерий возможности рассматривать данную среду как несжимаемую имеет вид fe* «С Конечно, такие плоские волны неоднородные.

Неоднородную волну, бегущую по любому направлению, получим, формально заменяя в выражении для однородной плоской волны вещественный волновой вектор k комплексным волновым вектором I + ia:

р = ехр [i (I -f ia) г] = ехр [ilr - аг]. (32.3)

Так как единственное требование, налагаемое на гармоническую волну, - это удовлетворение уравнению (22.2), то, подставляя (32.3) в (22.2), найдем условие, которому должны удовлетворять векторы I и а:

(H-i< = fe*.

Приравнивая отдельно вещественные и мнимые части слева и справа, получим

1 - а = k\ la = 0.

При выполнении этих условий (32.3) есть неоднородная плоская волна. Направление быстрейшего изменения фазы (направ-л&ие распространения волны) совпадает с вектором ; в этом направлении амплитуда волны остается постоянной. Направление быстрейшего изменения амплитуды совпадает с вектором а; в этом направлении фаза волны остается постоянной. Уравнения фронтов имеют вид г = const. Векторы и а взаимно перпендикулярны. Если совместить оси х и z с векторами и а, то вернемся к представлению неоднородной волны (32.2).

Теперь, располагая помимо обычных плоских волн еще и неоднородными волнами, фазовая скорость которых может быть сколь угодно мала, всегда сможем решить задачу: пристроить к любому гармоническому полю на плоскости суперпозицию уходящих от плоскости плоских гармонических волн в полупро-



странстве (в том числе и неоднородных), следом которой явилось бы данное поле на плоскости. Тем самым решается и задача о представлении в виде суперпозиции плоских волн любого поля в полупространстве, не содержащем источников звука (в том числе и источников на бесконечности).

§ 33. Пространственный спектр по плоским волнам для любого распределения давления на плоскости

Вернемся к выражению (31.2) для спектра волны, соответствующего на плоскости двухмерной волне давлений Ро ехр (tljc-iat). Если скорость этой двухмерной волны меньше с, т. е. S > А, то (31.2) по-прежнему можно считать. спектром, но теперь этот спектр - неоднородная волна

й/-00 1

р = Ро ехр {Их - Vl - kz),

бегущая вдоль плоскости и экспоненциально убывающая при удалении от плоскости. Чем больше , т. е. чем меньше длина волны распределения давления на плоскости, тем, при данной частоте, быстрее спадает давление при удалении от плоскости.

Пусть волновое число двухмерной волны на плоскости фиксировано; выясним, как меняется соответствующий ей пространственный спектр при изменении частоты. На рис. 33.1 показано изменение волнового вектора спектра при изменении частоты от бесконечности (угол скольжения равен при этом 90°) до значения в) = с (угол скольжения равен нулю). При еще меньших частотах спектр делается неоднородным и волна бежит вдоль плоскости, экспоненциально спадая в направлении, перпендикулярном к ней. При стремлении частоты к нулю спектр приобретает асимптотически форму

р = Ро ехр {ilx - Iz).

Такое же распределение давлений получилось бы при абсолютной несжимаемости жидкости.

Обратим внимание на то, что при неоднородном спектре поверхность не излучает звука, возмущение сконцентрировано вблизи плоскости, вдоль которой бежит неоднородная волна. В несжимаемой среде излучения звука нет никогда, но в данном случае жидкость, хотя и сжимаема, ведет себя в этом отношении, как несжимаемая: частицы только перетекают под действием

Рис. 33.1. При изменении частоты волновой вектор спектра для данного гармонического распределения на плоскости поворачивается так, что его проекция 5 на ось X остается неизменной.



разности давления между местами с большим и меньшим давле» .днем, и возмущение вдаль не передается.

Вообще, во всех случаях, когда характерные размеры неоднородности поля малы по сравнению с длиной волны, поведение жидкости близко к тому, как вела бы себя несжимаемая среда.

Найденным спектрам легко дать наглядную интерпретацию. Мысленно разрежем плоскую волну данной частоты с волновым вектором к плоскостью, составляющей с ее волновым вектором угол 6. Следом данной волны на плоскости разреза явится бегущая волна с волновым числом = ft cos 0. Удалим среду в полупространстве, откуда приходит волна, а ее действие заменим заданием на секущей плоскости того распределения давлений, которое было в самой плоской волне. Тогда картина во втором полупространстве не изменится и в нем по-прежнему будет распространяться волна, являющаяся спектром по отношению к распределению давлений на плоскости. Этим же способом можно интерпретировать и неоднородные спектры: они получатся при «разрезании» среды, в которой бежит неоднородная волна, плоскостью, перпендикулярной к фронтам неоднородной волны.

Теперь легко найти спектральное представление в виде суперпозиции плоских волн для поля, соответствующего любому периодическому распределению давления на плоскости, меняющемуся по гармоническому закону. Пусть поле на плоскости зависит только от координаты х\

Рг=с f (Х) = fix + L).

Обозначив для удобства 2n/L = , можем записать разложение в ряд Фурье функции f в виде

fix)= !пе"\ где /„=4-/(x)e-"=dx.

п=-со о

Каждому слагаемому ряда сопоставим спектр, приписывая ему соответственный номер п (п ~ О, ±1, ±2, . . .):

/7„ = /„ехр (wgx+ iVk-(nirz).

Следовательно, поле в пространстве, имеющее на плоскости гармонически зависящее от времени распределение f (jc) е-, имеет вид,

р(X, Z) = " S fnехр iinlx + i Vk~{nlfz).

П--(Х>

Действительно, это - поле, уходящее от плоскости и обращающееся в заданное распределение давления при z = 0.

Поле представлено в виде набора спектров - плоских волн, из которых, однако, распространяющимися будут не все, а только те, для которых п к. Угол скольжения 0„ распространяю-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 [29] 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.2017