Главная Общая акустика - создание упругих волн



щегося спектра номера п относительно плоскости 2 = 0 тем

меньше, чем выше номер спектра:

cose„ = nl/k, sine„ = Vi - {nl/k)\ Остальные спектры нераспространяющиеся: это неоднородные волны, бегущие вдоль оси х и затухающие экспоненциально вдоль оси г; чем выше номер затухающего спектра, тем больше затухание. Затухающие спектры образуют так называемое «ближнее поле»; оно заметно только вблизи плоскости *). Вдали заметны только распространяющиеся спектры, для которых длины волн компонент разложения Фурье на плоскости больше длины волны данной частоты в среде. Таким образом, мелкие детали распределения давления на плоскости, которым соответствуют компоненты разложения малой длины волны, окажутся потерянными: звуковая волна может перенести на расстояние только те детали, которые крупнее длины волны звука данной частоты. Если вся структура распределения мельче длины волны звука, т. е. > k, то распространяться вдаль от плоскости будет только нулевой спектр f oб* отвечающий постоянной составляющей в распределении давления по плоскости. Никаких сведений о «тонкой структуре» поля на плоскости он не понесет, и вдали от плоскости можно будет установить только факт наличия гармонического поля.

Аналогично решается задача о «пристраивании» поля в полупространстве к непериодическому по координате полю на плоскости, если это распределение можно разложить в интеграл Фурье. Пусть

p/dl, где Р5 = \f{x)e-dx.

-со -со

Тогда поле в пространстве можно представить в виде непрерывного спектра волн:

р (X, 2) = I pg ехр {ilx + / V¥4) df

-со - •

Этот интеграл можно разбить следующим образом: >

-ft .

Р {X, 2) = I pg ехр {ilx ~ Krz) dl +

со ,

-f 1 PgехрUlx~VW-kz)dl -t-

+ \pexp(ilxiVk - Vz)dl.

*) Таким затухающим спектром можно считать синусоидальную морскую волну на поверхности воды. Колебания воды быстро спадают по мере погружения: морская волна не излучает звук в глубину моря. Быстрым спаданием колебаний с ростом глубины пользуются морские организмы и подводные лодки: погружение иа сравнительно небольшую глубину позволяет достичь спокойных вод даже во время сильного шторма.

4 М. А. Ис1акович 97



в первых двух интегралах суммируются неоднородные волны, дающие ближнее поле. Третий интеграл составлен из распространяющихся волн, уходящих от плоскости. На большом расстоянии существен только этот последний член; но вблизи от плоскости вклад неоднородных волн может доминировать.

Наконец, рассмотрим распределения давления на плоскости 2 = 0, зависящие от обеих координат хну. Если данное распределение давления на плоскости f {х, у) разлагается в двойной ряд Фурье вида

f (-i f/) = S S fmn ехр (imlx-j- inr)y),

m n

to, как легко видеть, поле в полупространстве, имеющее следом на данной плоскости данное распределение, равно двойной сумме:

Р (х, i. 2) = S S fmn ехр [itnlx + inrw + i Ук - {т1У-{пф .

В числе спектров распространяющиейся - только те, для которых {m%Y -\- (мт])* k. Направляющие косинусы их волновых векторов р&ътл1тУк, гщ1к, Yk - {ml) - {m\)4k. Спектры, для которых {m\Y +*{«П) !> неоднородные; они бегут вдоль плоскости 2 = О и экспоненциально затухают вдоль оси г.

§ 34. Пространственный спектр по плоским волнам для любого распределения нормальных скоростей на плоскости

Аналогично можно продолжить в полупространство и поле нормальных скоростей частиц, заданное на плоскости. Так, поршневое излучение получится, если плоскости z = О сообщить колебательное движение в направлении оси z. Если нормальная скорость каждой точки плоскости равна v (/), то в полупространство побежит волна р = рсо {t - zlc). Такое излучение может быть создано колебаниями реальной пластины (отвлекаемся пока от конечных размеров пластины). Колебания пластины могут при этом иметь не только нормальную, но и касательную составляющую, однако излучение создаст только нормальная составляющая. Если среда - идеальная жидкость, то наличие касательных скоростей вообще никак не скажется на движении прилегающей среды: на поверхности будет существовать разрыв касательной скорости между частицами границы и частицами среды. В реальной вязкой жидкости разрыва не будет - жидкость будет прилипать к пластине и касательные смещения последней создадут в жидкости короткие быстро затухающие вязкие волны (см. § 19). Они практически никак не скажутся на создаваемой звуковой волне.



При синусоидальном распределении нормальных скоростей * V ~ Vf,e при 2=0

получается спектр с таким же углом скольжения, как и при распределении давления с той же длиной волны:

р = Ро ехр {Их + i Yk- lz).

Остается только найти амплитуду этого спектра. Пользуясь

1 др

соотношением - -j-, найдем, что амплитуда волны давления, создаваемой данным распределением нормальных скоростей на плоскости, равна ро = pcv/Y - 11 k. Таким образом, искомый спектр есть

р = , Р"" ехр (Их + lYWz). Вводя угол скольжения, найдем

Переход спектра из распространяющегося в неоднородный будет происходить, как и при задании синусоидального распределения давления, при I, = k (при у = с). Но случаи задания распределения давления и нормальной скорости резко различаются по степени возбуждения соответственного спектра, т. е. по амплитуде создаваемой волны. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Выберем такие амплитуды давления и нормальной скорости, чтобы при поршневом излучении создаваемые волны были одинаковы. Для этого достаточно взять давление единичной амплитуды и нормальную скорость амплитуды 1/рс. Каждое из таких распределений в отдельности создаст при G = 90° одну и ту же волну е*. Будем теперь уменьшать угол скольжения спектра, например, сохраняя частоту, увеличивать \, причем будем сохранять и амплитуды синусоидальных распределений давления и нормальной скорости на плоскости, полагая

р=в% t,= Le5 при 2=0.

Тогда амплитуда волны, создаваемой распределением давления, будет оставаться постоянной, а амплитуда волны, создаваемой распределением нормальных скоростей, будет расти как

1 1 sine у 1 g2/jfe*

и будет стремиться к бесконечности при L-♦ k. При > /fe, когда создаваемые спектры будут неоднородными, амплитуды их на

4* 99



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [30] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0133