Главная Общая акустика - создание упругих волн



= k {I - if]) «той же комплексности» *). В вещественном представлении волна имеет вид

р = ехр (-(d-qt + kr\x) cos {(at- kx).

Ее можно интерпретировать, например, как излучение какого-либо осциллятора, возбужденного ударом в какой-то момент времени и постепенно уменьшающего свою амплитуду вследствие «высвечивания» звуковой волны. Амплитуда волны в каждой точке уменьшается с течением времени вследствие уменьшения амплитуды колебания осциллятора. Пространствецное же распределение амплитуд в каждый данный момент нарастает при удалении от начальной точки, так как более далекие части волны были излучены в более ранние промежутки времени, когда амплитуда осциллятора еще была велика.

Интересно, что такая же картина имеет место вдали от источника звука не только для плоской волны, но и в пространственном случае излучения сферической волны (например, для звука удара колокола). В этом случае, хотя амплитуда и убывает при удалении от источника вследствие расхождения волн (убывание по степенному закону обратно пропорционально расстоянию от источника), но это убывание перекрывается указанным выше экспоненциальным нарастанием (ср. § 89).

Наконец, рассмотрим наиболее общий случай: неоднородные пв пространству волны комплексной частоты. Такую волну можно записать в виде

р = ехр {-i (со - fTi) i + i (I + ia) r}. (36.2)

Здесь ffi - tT) - комплексная частота и % + ia - комплексный волновой вектор. Подставляя (36.2) в (22.2), получим условие, связывающее со, т), и а:

{l + ia) = -{(o-in)\ (36.3)

Разделяя вещественные и мнимые части, найдем

r-» = -(<-yf),

1а = - -(аг].

Если четыре величины со, т), и а удовлетворяют этим двум соотношениям, то (36.2) действительно представляет собой свободную волну в данной среде.

Согласно формуле (22.5) скорость частиц в такой волне равна

p((~in)P-

*) Одинаковая комплексность» двух чисел означает, что их отношение вещественное.



Следовательно, движение частиц в волне происходит в плоскости, параллельной векторам и а. В каждой такой плоскости можно указать четыре характерных направления: а) направление быстрейшего изменения фазы, параллельное вектору ; б) направление фронта, вдоль которого фаза не меняется, перпендикулярное к вектору i; в) направление быстрейшего изменения амплитуды, совпадающее с направлением вектора а; г) направление, вдоль которого амплитуда не меняется, перпендикулярное к вектору а (рис. 36.1).


Рис. 36.1. Двухмерный профиль неоднородной волны комплексной частоты. а - направление быстрейшего изменения фазы, б - направление постоянной фазы, в - направление быстрейшего изменения амплитуды, г - направление

постоянства амплитуды.

В отличие от неоднородной волны с вещественной частотой, в волне вида (36.2) направления быстрейшего изменения амплитуды и фазы не составляют прямого угла, а ось, вдоль которой профиль волны перемещается как твердое тело, не совпадает с направлением быстрейшего изменения фазы.

Найдем вектор скорости перемещения волны (36.2) как твердого тела. Обозначим этот вектор у. Очевидно, должно выполняться условие

(--ta)v = co -{Т],

откуда следует

V = o), ау = -Т). (36.4)

Векгор V должен представлять собой линейную комбинацию векторов i, а, т. е. V = с i 4- Ьа, где ам b - пока неизвестные постоянные. Умножая обе части этого выражения на и на а, получим, учитывая (36.4),

+ lab = со, 1аа -f а«& = - т].



Решая эту систему относительно а и &, найдем

Наконец, подставляя в выражение для у, найдем после простых переделок:

tola[ёа]]-Till[gg]] ~ да

Модуль вектора скорости равен

У - \ а«2 - (ifi-rf/c* )

Обобщая понятие плоской гармонической волны, мы нашли, что любое из обобщений можно записать в том же виде, что и обычную однородную волну:

р = ехр {-iwt + ikr),

где как со, так и k могут быть комплексными и должны удовлетворять единственному условию

Aj« = coV.

Все такие волны будем объединять названием монохроматических плоских волн.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [32] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0256