Главная Общая акустика - создание упругих волн



часть работы (осложнения, связанные с переменностью атмосферного давления по высоте, можно при грубой оценке игнорировать). Ферми находился примерно на расстоянии г = 10 км от места взрыва. Бумажки были снесены примерно на / = 1 м. Значит, вытесненный объем составлял 2л • (10)*-100 6-10"см. Атмосферное давление равно 10 бар. Значит, работа против атмосферного давления, совершенная взрывом, была равна А = = 6-10"-10 эрг = 6-10" кжд. Но энергетический эквивалент взрыва 1 кг тротила равен примерно 1000 ккал = 4000 кдж. Значит, указанная энергия соответствует взрыву 1,5-10кг = = 15 ООО тонн тротила, что хорошо согласуется с известной цифрой 20 ООО тонн тротилового эквивалента для бомбы этого типа.

§ 38. Плотность энергии в звуковой волне

Указанным в предыдущем параграфе способом можно ввести (условную) плотность внутренней энергии и в звуковой волне. Для частицы, имеющей объем dQ. и испытавшей сжатие s, измененное давление равно Р + р, относительное изменение объема равно s/(l -f s) (это- уточненное значение требуется только для расчета работы исходного давления Р), среднее давление за время сжатия равно Р -f Vgp. Работа, произведенная над частицей данной массы, равна

dл = (p-lp)-dQ.

Интегрируя по всему объему, занятому возмущением, найдем

а а а

где область интегрирования Q охватывает интересующий нас участок среды. Но первый интеграл справа дает просто суммарное приращение объема рассматриваемой массы газа. Если этот объем не изменился, то интеграл равен нулю. Тогда суммарная работа, совершенная над средой, окажется равной

(во втором интеграле пренебречь SB знаменателе можно). Условную плотность внутренней энергии и здесь будем считать равной

п 1 - 1 s« 1 й 2

вн = yPS = 2-у = у Рр

Суммарная условная плотность энергии в волне есть сумма плотностей кинетической и приращения внутренней энергии:

f = -Бкнн + = I 4- jpp (38.1)



Так как в бегущей плоской волне в каждой точке и в каждый момент времени р = ±pcv, то в такой волне в любой точке и в любой момент времени плотность кинетической энергии равна плотности внутренней энергии и суммарная плотность звуковой энергии равна

£ = ру2 = (38.2)

Плотность энергии в бегущей плоской волне удовлетворяет волновому уравнению. В самом деле, квадрат (и, более того, любая степень) давления в бегущей волне, как и само давление, является функцией от бинома t + xlc, т. е. может рассматриваться как некоторое рещение одномерного волнового уравнения (для стоячей волны это утверждение неверно).

Пользуясь формулой (38.2), можно получить следующие выражения для суммарной энергии всей бегущей плоской волны в целом (в расчете на единицу площади фронта):

•dt.

со со оэ со

Р рЫх = - j pdt=:p vx=pcv

-CD -оэ -со -со

В первом и третьем интегралах х, р я v берутся в произвольный момент времени, во втором и четвертом - в произвольной точке. Подынтегральное выражение отлично от нуля только в области, занятой возмущением (в первом и третьем интегралах), и только в тот промежуток времени, когда возмущение проходит через данную точку (во втором и четвертом интегралах).

При помощи той же исходной формулы (38.2) для плотности энергии бегущей плоской волны можно найти и выражение для плотности энергии в случае суперпозиции двух волн, бегущих по одному направлению. Так, сумма двух плоских волн Pi=Px {t- -xlc) к р = р2 (t- xlc), бегущих в одну и ту же сторону, также есть бегущая плоская волна,

р (txlc) = pi + ps.

Значит, плотность энергии в ней равна £ = Рр2 = р (pi + pf = ppf PpI 1- 2PpiP2 = £i + £2 + 2PP1P2.

где El и £2плотности энергии составляющих волн pi и р в отдельности.

Таким образом, плотность энергии суперпозиции двух волн, бегущих в одном и том же направлении, вообще отличается от суммы энергий составляющих: для энергий волн принцип суперпозиции несправедлив. Плотность энергии результирующего поля может быть как больще, так и меньше суммы плотностей энергий составляющих и может даже обращаться в нуль (тривиальный случай двух волн противоположного знака: Pi = -рг)-



Для суперпозиции двух плоских волн Pi=/Ji {t-х/с) и pg= = Ра + х/с), бегущих навстречу друг другу, имеем

P = Pl + Pi,V = Vi + Vi=--{pl - p2),

откуда

£ =-1 рр» + i-pt; = I р (Pi + р,) +(Pi - Ра)*» =

= Pp? + Pp1 = £i + £2. (38.3)

Таким образом, для плоских волн, бегущих навстречу друг другу, плотности энергии всегда складываются. В отличие от бегущей волны, в суперпозиции встречных волн (например, в стоячей волне) плотности кинетической и внутренней энергии не равны друг другу в каждой точке.

Наконец, в суперпозиции двух плоских волн, бегущих под любым углом друг к другу, давления складываются алгебраически, а скорости - векторно. Выбирая ось х в направлении распространения одной из волн и ось у - в плоскости, содержащей оба направления распространения, найдем для результирующего давления и компонент результирующей скорости частиц:

P = Pi(-)+P2(-cos9--sln9),

1 , cos 6 sin в

Vx = -Pl+-P,, Vy = -p„

где 9 - угол между направлениями распространения обеих волн. Суммарная плотность энергии равна

Е = у P(pi + + у Р (Pi + p2Cos9)2 + р2 sin 9 =

= PPi + РР2 + PP1P2 (1 + cos Q) = E + E + -/ад (1 + cos 9).

В этой формуле заключены в виде частных случаев рассмотренная выше суперпозиция двух волн, бегущих в одном и том же направлении (9 = 0), и двух волн, бегущих навстречу друг другу (9 = я).

Плотность звуковой энергии очень мала по обычным масштабам энергетики даже для очень громких звуков. Так, плотность энергии в звуковой волне, создаваемойпри обычной речи на расстоянии 1 м от говорящего (60 дб над стандартным уровнем 0,0002 бара, т. е. звуковое давление 0,2бара), равна примерно 1,4-10"® эрг/см*. Фортиссимо оркестра в зале доводит плотность энергии до 10~*-10"* эрг/см*. Таким образом, в большом концертном зале (20 ООО м*) при фортиссимо оркестра суммарная звуковая энергия достигает примерно 10 эрг, что равно работе силы тяжести приподнятии грузика 10 г на высоту 1 м.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [34] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.013