Главная Общая акустика - создание упругих волн



Еще меньше плотность звуковой энергии в воде: при том же давлении 0,2 бара плотность энергии составляет всего 10" эрг/см. Дело в том, что, как видно из формулы (36.2), при заданном звуковом давлении плотности энергии относятся как сжимаемости сред. При одинаковом звуковом давлении плотность энергии в воде в 1,4-10* раз меньше, чем в воздухе *). Вообще (не только в звуковой волне) при одинаковом давлении упругая энергия, накапливаемая в газе, огромна по сравнению с энергией в жидкости именно потому, что газы более податливы, чем жидкости. В газе изменение объема, создающее заданное изменение давления, во много раз больше, чем в жидкости.

Интересны иллюстрации этого обстоятельства, взятые из неакустических областей. Почему применяют гидравлические, а не пневматические испытания котлов? Разрыв котла, испытываемого гидравлически, безопасен: запасенная в сжатой воде и выделившаяся при разрыве стенок энергия мала и приведет только к вытеканию небольшого количества жидкости, в то время как разрыв пневматически испытываемого котла - это настоящий взрыв (хотя и значительно менее мощный, чем взрыв котла под паром, когда происходит дополнительное выделение энергии перегретой воды). Способность накоплять большую энергию при заданном значении силы характерна для всяких упругих систем с малым модулем упругости. Этим объясняется меньшая сила толчков на неровностях пути при езде на более податливых рессорах; безопасность прыжка на согнутые ноги и опасность перелома при прыжке на выпрямленные ноги; преимущество сильно вытягивающегося перед разрывом пенькового каната при швартовке корабля по сравнению со стальным тросом, обладающим той же прочностью на разрыв, и т. д.

При одинаковой скорости частиц плотность энергии в бегущей волне пропорциональна плотности среды. Так, при одинаковой скорости частиц плотность энергии в воде в 800 раз больше, чем в воздухе.

При заданной плотности звуковой энергии давления и скорости в бегущих волнах в разных средах относятся как корни квадратные из обратных отношений сжимаемостей и плотностей соответственно.

Рассмотрим подробнее плотность энергии в гармонической волне: в гармонических волнах энергетические соотношения имеют интересные особенности. Для нахождения плотности энергии в гармонической волне запишем давление и скорость частиц в вещественном виде (экспоненциальная запись не годится, поскольку при нахождении энергии требуются квадратичные

*) Тем не менее в специальных концентраторах, создающих сходящиеся пучки ультразвука, удается получать огромные плотности энергии и потоки мощности даже в воде: плотность энергии свыше 10 эрг/см и плотность потока мощности свыше 10 квт/см.



величины):

р = Ро cos (ю--е), о = Уо cos (ю - т]),

где Ро и Vo- амплитуды давления и скорости в данной точке, а е и т] - начальные фазы. Плотность энергии в данной точке выразится формулой

£ = i- ppcos (W - е) 4- у рУоСОБ (wt - т)).

Плотность кинетической и внутренней энергии осциллирует между нулем и максимальными значениями /гРо и Vspfo- Найдем среднее значение плотности энергии за один период. Так как интеграл от квадрата косинуса за период равен /g. то искомое среднее равно

1 = рРо +рУо.

Средняя плотность энергии за период, очевидно, равна приближенно среднему за промежуток времени, много больший периода.

Рассмотрим теперь среднюю за большой промежуток времени плотность энергии суммы двух гармонических волн разной частоты:

р = Pi cos {(i>it- Bi) + P2 cos {(Ot- 62),

V = Vi COS {(Oit- t]) + V2 cos ((»2< - T]2).

Мгновенная плотность энергии в данной точке выразится теперь формулой

£ = 4- ИР1 cosVi - 61) + Р2 cos (aj - e.) +

-f 2piP2 cos {(i>jt - ei) cos {aj - s)] + - у p [v\cos (tiijt - Til) + vl cos (u>2 - Tfe) +

4- 2vjV cos {(i>jt - Til) cos {щ1 - rfe)

Ho среднее от произведения косинусов разных частот за большой , промежуток времени стремится к нулю по мере увеличения промежутка, поэтому члены, содержащие это произведение, при усреднении можно опустить. Тогда

£ = I Рр1 +1 Pt>?+1 Рр +1 ру2 = li + £2.

т. е. средние плотности энергии двух гармонических волн разной частоты аддитивны.




Очевидно, аддитивность средних плотностей энергии имеет место и для любого числа составляющих гармонических волн данного звукового поля- Так, для периодического поля средняя энергия равна сумме средних за период поля энергий его гармонических составляющих. При этом фазы компонент роли не играют: средняя энергия зависит только от амплитудного спектра данного периодического поля.

Для бегущей плоской гармонической волны р = ро cos {at - - kx - s) плотность энергии равна, согласно (38.2),

Е - Рро cos {at - kx - &)= роо cos (со/ - fee - s).

Плотность энергии в плоской волне осциллирует от точки к точке по синусоидальному закону между нулем и значением Рро = pt»o

(рис. 38.1). Средняя плотность энергии в бегущей гармонической волне как по времени, так и по пространству равна

Рис. 38.1. Мгновенное пространственное рас- ~ "2 ~ Т Р0(38.4) пределение плотности звуковой энергии в бегущей плоской гармонической волне. В стоячей гармониче-

ской волне

р =PoCqs fcecoscef = -роС08(ю< - kx) -f -jPoCOS {at -f- kx)

средняя плотность энергии в любой точке (или равная ей средняя по пространству плотность энергии в любой момент времени) равна

В отличие от бегущей волны, в стоячей волне средние по времени значения кинетической и внутренней энергии не равны друг другу в каждой точке:

£khh = PPo(1-cos2Ax),

b8 = 4"P/o(l+cos2Ax).

Кинетическая энергия достигает максимума в узлах, а внутренняя - в пучностях давления.

Аддитивность средних плотностей энергий имеет место не только для гармонических волн разных частот, но и для статистических волн при их статистической независимости. В этом случае функция корреляции лзвлеяиявэгихволнах, равная по определению среднему по времени значению произведения давлений, равна нулю.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [35] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0126