Главная Общая акустика - создание упругих волн



Длятого чтобы энергии складывались в среднем, достаточно, чтобы обращалось в нуль среднее значение произведения давлений. Требование статистической независимости волн является достаточным, но не необходимым, как мы видели на примере двух синусоид разных частот.

§ 39« Плотность потока мощности в звуковой волне

Рассмотрим теперь передачу звуковойэнергии по среде. Передача осуществляется звуковым давлением, совершающим работу при перемещении частиц среды, на которые оно действует. При расчете передаваемой энергии достаточно учитывать работу только звукового давления, потому что, как показано в предыдущем параграфе, работа равновесного давления приводит лишь к перераспределению энергии в среде.

Найдем мощность сил звукового давления, действующего на частицы, расположенные на какой-либо плоской элементарной площадке dS. Сила звукового давления, действующая на площадку, равна р dS. Пусть скорость частиц, лежащих на этой площадке, равна v; тогда искомая мощность есть pv dS. Эта мощность зависит от ориентировки площадки по тому же закону, что и поток массы среды, протекающей через эту площадку: dQ = = pv dS- Поэтому, по аналогии с применяемым в гидродинамике понятием вектора плотности потока импульса среды J - pv, введем вектор плотности потока мощности:

W = pv, (39.1)

Мощность сил давления, приложенных к площадке dS, равна

pvdS=WdS (39.2)

(аналогично формуле, выражающей поток вещества через площадку: dQ = J dS).

Формулы (39.1), (39.2) - общие гидродинамические формулы, если р есть полное давление; но мы будем относить величины pv dS и W только к акустическим величинам (так же, как плотность энергии в предыдущем параграфе): плотность потока звуковой мощности будем рассматривать как условную величину в том же смысле, как н плотность звуковой энергии в среде. В бегущейплоской волне модуль вектора VV равен

W=pv = jp==pcv\ (39.3)

а сам вектор направлен по вектору медленности волны. Плотность потока мощности в направлении какой-либо оси координат, например оси Z, равна pv-

Плотности потока мощности плоских волн, бегущих в одном направлении, не аддитивны. Так, плотность потока мощности



волны р - Pi (t- х/с) + р2 - х/с) равна

W = jpWi + W, + jPiPz.

Аддитивность получится, если рассматривать средние за длительный промежуток времени потоки мощности для гармонических волн разных частот или для статистических волн при условии их статистической независимости. Здесь положение такое же, как и при расчете плотности энергии суммы двух волн.

Плотность потока мощности суперпозиции двух плоских волн, бегущих навстречу друг другу, всегда равна разности плотностей потоков мощности этих волн, в самом деле, в суммарном поле волн Pi = Pi(i- xlc) и р2 pzit + xlc) имеем

P = Pi + p2. » = i + 2 = -(pi -Рг),

откуда

W = pv = ipi + р,) ± (р- р = 1 -1

Между плотностью звуковой энергии в среде и плотностью потока звуковой мощности существует важное соотношение, аналогичное закону сохранения энергии в механике. Умножим уравнение движения

pf+ VP=0 . •

скалярно на вектор v и уравнение неразрывности

на давление р. Складывая полученные уравнения, найдем

9~+Pp+fvp + pv» = (т Р+Т Р) + V И) = О-

В скобках стоят соответственно плотность звуковой энергии Е и вектор плотности потока мощности W. Значит,

+VW = 0. (39.4)

Это - дифференциальный закон сохранения звуковой энергии в среде.

Проинтегрируем это уравнение по какому-либо объему Q, ограниченному неподвижной поверхностью S. При интегрировании второго слагаемого можно преобразовать объемный интеграл в поверхностный.



Получим

-JEdQ-{-WdS = 0. (39.5)

Эта формула выражает интегральный закон сохранения энергии для звуковой энергии.

Этот «акустичесйий» закон сохранения энергии пришлось выводить специально, вместо того чтобы сослаться прямо на «обычный» закон сохранения энергии, потому что как плотность энергии, так и плотность потока мощности берутся не полностью: учитывается только их квадратичная - «акустическая» - часть по отношению к давлению и скорости, а перераспределение энергии не учитывается.

Полученная формула относится к замкнутым объемам. Однако для бегущей плоской волны, ограниченной во времени, формулу можно применять и к незамкнутой поверхности. В самом деле, пусть имеется плоская звуковая волна, исчезающаяна некотором расстоянии слева и справа от данной точки. Проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную к направлению распространения волны. Слева и справа от этой плоскости построим цилиндры, опирающиеся на эту плоскость, с осью, параллельной направлению распространения волны, и замкнем эти цилиндры достаточно далеко справа и слева от плоскости, где возмущение уже отсутствует или еще отсутствует. Рассматривая каждый из этих цилиндров как замкнутый объем и применяя к каждому из них закон сохранения акустической энергии, получим, что поверхностные интегралы сводятся к интегралам по общему основанию цилиндров, так как потоки через боковые и через далекие стенки равны нулю.

Теорему о сохранении акустической энергии можно поэтому трактовать как протекание энергии сквозь плоскость, перпендикулярную к направлению распространения волны: уменьшение энергии с одной стороны плоскости равно увеличению энергии с другой стороны.

Легко уайти величину этого потока,: так как для выбранной поверхности нормаль п совпадает с направлением скорости частиц, то, согласно (38.2), в расчете на единицу площади поток через плоскость равен

nW = pv== рУрс = сЕ. (39.6)

В этой формуле существенно использование соотношения V - pipe, справедливого только в отсутствие дисперсии. Тогда плотность потока мощности оказывается равной плотности энергии, умноженной на скорость волны. Этот результат наглядно интерпретируется так: энергия в бегущей плоской волне переносится со скоростью звука.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [36] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0104