Главная Общая акустика - создание упругих волн



Заметим, что в гармонической волне связать наличие потока мощности или усредненного потока мощности с каким-либо переносом энергии нельзя: так как в гармонической волне возмущение охватывает всю среду, то замкнуть цилиндры, о которых шла речь выше, так, чтобы их основания оказались вне области возмущения, невозможно. Если же замкнуть цилиндры внутри возмущенной области, то теорема сохранения выразит только, что в замкнутом объеме энергия бегущей гармонической волны не изменяется в среднем за период. Тем не менее в этом случае плотность энергии можно локализовать и для гармонической волны в каждый момент времени.

Если в среде имеется дисперсия, то уравнение (39.6) справедливо только для монохроматических волн, т. е в случае, когда нельзя говорить о переносе энергии по среде. При этом следует еще иметь в виду, что величина с в (39.6) - разная для различных частот. Но формулу, аналогичную (39.6) и дающую скорость перемещения энергии по среде, можно получить для узкополосного сигнала - группы волн. В самом деле, в этом случае вся энергия сосредоточена в области, занятой группой, и эта группа перемещается с групповой скоростью и. Поэтому энергия волны также перемещается с групповой скоростью, и вместо формулы (39,6) имеем теперь

nW = uE. (39.7)

Для гармонических волн мощность какого-либо процесса удобно характеризовать ее средним значением за период или за промежуток времени, большой по сравнению с периодом. Задача о нахождении среднего по времени произведения двух гармонических величин одного периода часто возникает в теории колебаний: к ней сводятся все задачи о нахождении мощности гармонических процессов любой природы. В акустике одна из величин - давление, другая - скорость; при воздействии какой-либо гармонической силы на тело одна из величин - сама сила, другая - скорость тела; в электрических цепях одна их величин - разность потенциалов, а другая - сила тока. Дадим общее правило нахождения средней мощности во всех этих задачах, причем будем обозначать перемножаемые величины по-прежнему буквами р и f, какова бы ни была их физическая природа.

Рассмотрим самый общий случай:

р = Ро ехр {-Ш + le).

о = Uo ехр (-mt -}- ie -\- щ),

когда между исходными величинами имеется некоторый сдвиг фаз ф. Амплитуды к Vq будем считать вещественными. Поскольку нахождение мощности есть нелинейная операция над гармоническими величинами р и и, перейдем к вещественной



записи:

р = Ро cos ((ot- е), V = Vo cos {cat - в - ф). Мгновенная мощность процесса равна W = PoVg cos {(ot - 8) cos (at - e - ф) =

= yPeo [cos Ф -f- cos(2u> - 2e - ф)]. (39.9)

Цри усреднении по периоду волны второе слагаемое в скобках даст нуль. Таким образом, средняя мощность процесса равна

Г=1роУоС08ф. (39.10)

В частном случае синфазности величин р и v (ф = 0)- средняя мощность равна

W = PoVo. (39.11)

В случае, когда р и v сдвинуты по фазе на 90°, средняя мощность равна нулю.

Часто удобно вычислять мощность без перехода к вещественной записи: как легко получить из (39.8), pv* + p*v - = 2/)оо cos ф. Значит,

W = l;ipv* + p*v). (39.12)

В ряде случаев одну из величин, например v, удобно представить в виде суммы двух слагаемых, из которых одно синфазно со второй величиной (р), а другое сдвинуто относительно нее на 90°. В комплексной записи это значит, что одно слагаемое пропорционально р, а второе пропорционально ip. В этом случае говорят об «одинаковой мнимости» и о «разной мнимости» величин. Пусть, например, v = v v" и р и v - величины одинаковой, а р и v"-разной мнимости. Мгновенная;мощность равна

pv = pv+ pv". • (39.13)

В первом слагаемом сдвиг фаз между сомножителями равен нулю, значит, средняя величина этого слагаемого равна

Среднее значение второго слагаемого равно нулю. Следовательно, средняя мощность всего процесса есть

1„л (39-14)

W = pv = pv =jPoVo.



Слагаемые в (39.13) соответствуют слагаемым в скобках в (39.9). Первое слагаемое в обеих формулах дает постоянную мощность, производящую накапливающуюся с течением времени работу; это так называемая активная мощность процесса. Второй член, дающий в среднем по времени нуль, называют реактивной мощностью. Соответственно компоненты о и о" называют активной и реактивной компонентами величины v относительно величины р, принятой за основную. Можно было бы принять за основную величину V и тогда представить р в виде суммы активной и реактивной составляющих относительно v. Модуль активной компоненты каждой величины относительно второй из них равен амплитуде; умноженной на косинус угла сдвига фаз между величинами. Этот косинус равен отношению активной мощности к амплитуде реактивной мощности.

При комплексной записи часто удобно вводить импеданс - отношение Z величин р а v:

Z = p/v

Импеданс гармонического процесса - в общем случае комплексная величина, не зависящая от времени. Средняя мощность процесса простым образом выражается через вещественную часть импеданса и амплитуду скорости. В самом деле, в общем случае (39.8)

роехр(-to<-bte) Ро р ,ф Го ехр (-itu<+9)

И вещественная часть импеданса равна Re Z == Pofvo cos ф, откуда, пользуясь (39.10), непосредственно получаем

W = Yi.eZ-vl. (39.15)

Согласно (22.5) вектор скорости частиц в гармонической звуковой волне можно представить в виде суммы

Первое слагаемое имеет мнимость, отличную от давления, а второе - ту же мнимость, что и давление. Отсюда видно, что пространственное изменение амплитуды колебаний в волне не дает вклада в средний поток мощности, и он определяется только градиентом фазы и направлен вдоль этого градиента. Средний вектор плотности потока мощности равен



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [37] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0115