Главная Общая акустика - создание упругих волн



Наша задача заключается в отыскании отраженной и прошедшей волн по известным свойствам препятствия для любой падающей волны. В этой главе рассмотрим только простейший случай нормального падения плоской волны на препятствие. Это - одномерная задача: все величины в волне зависят только от одной координаты (например, z). Падающую волну можно в этом случае записать в виде р (t- г/с), а отраженную- в виде р (t -\- г/с). Если препятствием является другая среда, скорость звука в которой равна с, то возникающую прошедшую волну можно записать в виде р (/- г/с).

Поскольку задача одномерная, то все результаты, которые получим ниже, можно будет перенести на другие одномерные случаи (отражение и прохождение волн на струне, в трубе, заполненной жидкостью, и т. п.), характеризуя препятствия, располагаемые на пути волны, соответственным способом в каждом случае. Об этом будет подробнее сказано в § 51.

§ 41. Отражение от идеальных границ. Метод мнимых изображений

Простейшие виды препятствий - это «свободная граница» (абсолютно мягкая поверхность) и «закрепленная» граница (абсолютно жесткая поверхность). Такие границы будем называть идеальными.

Пусть свободная граница совпадает с плоскостью z = 0. Граничное условие требует, чтобы в этой точке обращалась в нуль сумма давлений в падающей и отраженной волне: р (() -\- р (t) = 0. Следовательно,

p{+~) = -p{i+-)- (41.1)

Волна давлений отражается от свободной границы, не меняя зависимости от времени, но изменив знак на обратный. При этом пространственное распределение давления вдоль оси z изменяется на зеркально обращенное, так как отраженная волна бежит навстречу падающей. Скорости частиц в обеих волнах равны соответственно

(41.2)

так что волна скоростей отражается от свободной границы также без изменения формы, но, в отличие от волны давления, и без изменения знака. Отсюда следует, что суммарная скорость частиц на свободной границе вдвое больше скорости в падающей волне.

Найденная нами отраженная волна вместе с падающей обращают давление в нуль в точке z = О, в то время как граничное



условие требует обращения давления в нуль на самой свободной поверхности, которая под действием падающей волны колеблется вблизи точки Z = О, а не совпадает с ней все время. Значит, при нахождении отраженной волны мы делаем некоторую ошибку, относя граничное условие к поверхности препятствия в отсутствие волны. Такую же ошибку будем делать и во всех других случаях более или менее податливых препятствий. Однако это ошибка того же порядка, что и допускаемая при линеаризации уравнения движения или уравнения непрерывности: она заключается в пренебрежении изменением той или иной величины, характеризующей волну, на расстоянии, равном перемещению частиц в волне. Пока волны можно вообще рассматривать в линейном приближении, такое пренебрежение допустимо.

Для падающей гармонической волны р = е* отраженная волна равна р = -е-«. Суммарное давление и скорость равны

соответственно р + р = 2i sin kz, v + v = 2 cos kz. Это-

поле стоячей волны с амплитудой давления 2 и с узлом на границе. В вещественной записи

р -f- р = 2 sin kz sin (ot = 2cos(kz--y) --1~) >

и-]-о =--2 cos fez cos соЛ

Амплитуда давления и амплитуда скорости частиц распределены в суммарном поле по закону косинуса. Пространственное распределение амплитуд давления сдвинуто относительно распределения амплитуд скоростей на четверть волны к границе.

Практически свободной можно считать границу твердой или жидкой среды не только с вакуумом, но и с газом, если только давление газа не слишком велико (требуется, чтобы плотность газа была мала по сравнению с плотностью конденсированной среды). Такова, например, для подводного звука свободная поверхность воды (например, в море). При нормальном падении звука из воды на свободную поверхность результирующее давление на границе с атмосферой меньше 0,0006 от давления в падающей волне, что практически всегда пренебрежимо мало. В газе осуществить свободную границу для плоской волны нельзя.

Для абсолютно жесткой границы в нуль должна обращаться

суммарная нормальная скорость частиц границы: -Р(0 - гР(0 = О- Значит,

р(+)=рО + -г). (41.3)

т. е. волна давлений отражается, не меняя ни формы, ни знака. Давление на границе оказывается удвоенным по сравнению с дав-



лением в падающей волне. Волна скорости частиц при этом отражается без изменения формы, но с обратным знаком.

Для гармонической волны р = е*, падающей на жесткую-границу, отраженная волна есть р = и суммарное поле

представляется в виде

р -\- р = 2 cos kz cos ©if,

г-f tT = 2sinfeSino)/ = -~2 cos (kz--) cosw/--.

Поле снова есть стоячая волна с удвоенной амплитудой. На границе оказывается пучность давлений. Распределение давлений сдвинуто относительно распределений скоростей на четверть волны от границы назад.

Реальное осуществление абсолютно жесткой границы для жидкостей и для твердах сред весьма затруднительно. Абсолютно жестких тел в природе нет - речь может идти только о большей или меньшей жесткости ограничивающей среды по сравнению со средой, в которой распространяется звук. Для газов при нормальном давлении, ввиду большого различия плотностей, по крайней мере при не слишком «скользящем» падении волны, границу с жидкостью или твердым телом с достаточной степенью точности можно считать абсолютно жесткой; практически это значит, что на такой границе нормальная компонента результирующей скорости частиц много меньше этой компоненты в падающей волне. В самом деле, например, для нормального падения звука из воздуха на водную поверхность результирующая скорость частиц у границы (а значит, и скорость границы) меньше, чем 0,0006 скорости частиц в падающей волне.

Отражение от идеальных границ часто бывает удобно интерпретировать при помощи метода мнимых изображений. Пусть требуется найти звуковое поле, создаваемое заданными источниками звука в среде, занимающей полупространство, ограниченное абсолютно жесткой плоской стенкой. Мысленно уберем стенку, заполним второе полупространство той же средой и разместим во втором полупространстве в симметричных относительно стенки точках такие же источники звука, как и в данном, как бы зеркально отразив их в плоскости стенки. Старые и новые источники вместе создадут в получившейся неограниченной среде поле, симметричное относительно плоскости стенки. Поэтому на плоскости симметрии нормальные скорости частиц будут равны нулю. Но это и есть условие абсолютной жесткости стенки - следовательно, поле в данном полупространстве осталось таким же, как и при наличии стенки.

Зеркально отраженные источники называют мнимыми источниками, а прием замены поля в ограниченном пространстве полем в неограниченном пространстве, создаваемом помимо заданных источников еще и мнимыми источниками, называют методом мнимых изображений. Отраженная волна - это поле, создаваемое



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [39] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0116