Главная Общая акустика - создание упругих волн



струне без изменений формы, подобно твердому телу. В этом случае длину пробега волны легко определить, скорость волны имеет простой физический смысл и эту скорость можно измерять.

На рис. 4.2 даны аналогичные моментальные фотографии поперечной изгибной волны на стержне. Мы видим, что форма волны изменилась неузнаваемо и отождествление соответственных точек волны в два разных момента времени невозможно. В этом случае нет никакой определенной длины пробега, а понятие скорости волны не имеет смысла. Дело не в том, что эту скорость трудно измерить, а в том, что понятие скорости неприменимо к объектам, которые меняют свою форму слишком быстро. Волна не сохраняет в этом случае свое тождество в том смысле, как сохраняет свое тождество материальное тело: даже если тело деформируется или распадается на части, эти части все же можно отождествить; но пометить отдельные точки волны так, чтобы потом, когда ее форма изменится, снова опознать их, - невозможно принципиально.

Наиболее интересные для нас продольные звуковые волны в неограниченной среде сохраняют, как правило, свою форму *); поэтому для них понятие скорости звука применимо. Эту скорость и указывают в справочниках.

§ 5. Одномерная волна. Способ «остановки движения»

Скорость одномерных волн можно найти, не обращаясь к механике волн как таковой, прямо на основе динамики материальных тел. Мы рассмотрим вкратце в этом и в ближайших параграфах одномерные волны и некоторые конкретные примеры таких волн.

Одномерные волны - это волны, в которых все характеристики зависят, помимо времени, только от одной координаты. Одномерными могут быть как волны, бегущие в одномерной среде (волны на струне, в стержне, в жидкости, заполняющей узкую трубу, и т. п.), так и волны в двухмерных (плоская волна на пласт-инке) и трехмерных средах (плоская волна в неограниченной среде). Если эту единственную координату обозначить через х, то каждая величина, характеризующая волну (давление, скорость частиц и т. д.), будет некоторой функцией времени и этой координаты (для определенности рассматриваем давление р):

р = р{х, t).

График зависимости от координат или от времени какой-либо величины, характеризующей волну, называют пространственным или временным профилем волны для этой величины. Профили разных величин в одной и той же волне вообще различны. Например, профиль скоростей частиц для волны на струне, показанный на рис. 4.1 для момента / пунктиром, имеет совершенно другую форму,

*) Строго говоря, форма сохраняется только приближенно, однако с достаточной точностью (см. § 9).



чем профиль смещений, изображенный сплошной линией. Особенно интересны волны, не меняющие своего профиля при распространении. Такие волны можно использовать для передачи информации: информация, заключенная в форме волны, передается в этом случае без потерь. Для таких волн понятие скорости применимо, а зависимость любой величины, характеризующей волну, от координаты X и времени / можно записать в виде

р = р{хт cf),

где с - скорость волны, а верхний и нижний знаки соответствуют бегу волны в положительном и отрицательном направлении оси х (мы условно будем называть эти направления «вправо» и «влево»). В самом деле, давая времени произвольное приращение Т, а координате соответственное приращение ±сТ, получим то же самое значение р. Часто более удобна другая запись:

p = Pit4= xlc). (5.1)

Для таких волн «моментальная фотография» пространственного профиля в какой-либо момент

Р = P{to + xlc)

совпадает с точностью до масштаба и начала отсчета с временным профилем той же величины в любой фиксированной точке Xq:

р = р (t xjc).

Для волн, бегущих вправо, пространственный и временной профили «перевернуты» друг относительно друга. Для волн, бегущих влево, такого переворачивания нет.

Очень важны гармонические бегущие волны вида

р = Ро cos (<at :+ kx - е).

Здесь Ро - амплитуда гармонической волны, е - ее начальная фаза; период Т волны связан с циклической частотой ы и «обычной» частотой в герцах (число колебаний в секунду) / соот-ношениед!

Т = 2л/(о = 1 . Длина волны Я связана с волновым числом k соотношением

к = 27llk.

Пространственный и временной профили гармонической одномерной бегущей волны -- синусоиды. Скорость гармонической волны называют фазовой скоростью; она выражается через циклическую частоту и волновое число формулой

с = (nlk. (5.2)

Для всякой волны, бегущей без изменения формы, временная и пространственная производные величин, характеризующих волну,



связаны простым соотношением

др др ~ с-

dt ~ дх

Вторые производные по времени и по координате в такой волне оказываются связанными уравнением

Это - волновое уравнение (в одном измерении). Оно вообще удовлетворяется тольло данной волной. Но если в данной среде волна любой формы бежит без изменения профиля с той же скоростью с, то (5.3) - общее уравнение бегущих одномерных волн для данной среды. Если разные волны, сохраняющие свою форму, бегут с разными скоростями, то говорят, что имеет место дисперсия скорости волн. В этом случае не все волны могут сохранять свою форму при распространении, а (5.3) не удовлетворяется любой волной.

Как мы увидим, синусоидальные волны сохраняют свою форму при распространении. При наличии дисперсии фазовые скорости различны для гармонических волн разной длины или разной частоты. Если фазовая скорость одинакова для всех синусоидальных волн, то дисперсии нет.

В реальных средах встречаются все варианты: в некоторых средах дисперсия отсутствует к без изменения формы распространяются любые волны, в других форму сохраняют только некоторые виды волн и имеется дисперсия скорости, в третьих вообще нет волн, распространяющихся без изменения формы.

В следующих параграфах дадим примеры всех этих вариантов, причем будем применять наглядный метод остановки движения: будем искать такую движущуюся относительно среды систему координат (х), относительно которой профиль волны был бы неподвижен. Если это удастся, - значит, волна бежит без изменения формы и ее скорость с равна скорости системы {х) относительно «абсолютной» системы координат (х), в которой среда покоится. Относительно такой системы (х) движение частиц в волне будет установившимся: среда будет «протекать» с постоянной скоростью вдоль профиля волны.

Ввиду простоты установившихся движений этот метод позволит легко найти скорость бегущей волны.

В качестве примеров рассмотрим поперечные волны на струне и на стержне и продольные волны в неограниченной среде. Эти случаи хорошо известны из общего курса физики; здесь мы рассматриваем их другим способом, чтобы показать, как можно найти скорость бегущей волны, не прибегая к общим уравнениям для этих волн. Кроме того, последний пример позволит нам пояснить требование малости колебаний, о когором упоминалось в конце § 1.

Заметим, что упругие волны - не единственно возможные механические волны. Например, в волнах на поверхности воды



0 1 2 3 [4] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0147