Главная Общая акустика - создание упругих волн



в исходном полупространстве мнимыми источниками, расположенными во втором полупространстве.

Аналогично задачу о поле в полупространстве, ограниченном абсолютно мягкой стенкой, можно заменить задачей о поле в безграничном пространстве, но в этом случае мнимые изображения должны работать в противофазе с данными источниками, создавая в точках плоскости стенки давления, равные по величине и противоположные по знаку давлениям, создаваемым действительными источниками. Например, подводный источник звука создает в море такое же поле, какое создавали бы в безграничном водном пространстве данный источник и его отражение в водной поверхности, работающее в противофазе.

Эхо, слышимое при отражении звука от стены, можно рассматривать как звук, пришедний от мнимого источника, расположенного в симметричной точке позади стены, при условии, что стена была бы убрана. Запаздывание эхо относительно исходного звука - это как раз время, требующееся для пробега звука от мнимого источника (двойное расстояние до стенки).

Найденные нами волны, отраженные абсолютно мягкой и абсолютно жесткой стенками можно рассматривать как мнимые зеркальные изображения падающей волны в абсолютно мягкой и в абсолютно жесткой стенке.

Пусть в неограниченной среде имеется расположение источников, симметричное относительно некоторой плоскости. Тогда эту плоскость можно считать абсолютно жесткой границей. Пожалуй, это единственный случай реального осуществления идеально жесткой плоской границы. Следует, конечно, иметь в виду, что граница является абсолютно жесткой только для данного поля, и при нарушении строгой симметричности источников плоскость симметрии перестает быть идеальной границей. Аналогично, плоскость симметрии, разделяющая симметричные источники, работающие в противофазе, можно считать для данного поля свободной поверхностью. В таком поле «свободная» поверхность осуществляется и для газа.

§ 42. Правильное отражение. Отражение гармонических волн

При неидеальной границе отраженная волна может иметь другой профиль, чем падающая, т. е. функции р и р могут различаться. Если различие состоит только в постоянном множителе, так что для препятствия, расположенного в точке 2 = 0,

тоотражение называют правильным, а величину ¥ - коэффициентом отражения. Точно так же, если препятствие образовано другой средой и профиль прошедшей волны отличается от профиля



падающей только постоянным множителем, так что

p(-f)=M-f)>

то прохождение также называют правильным, а величину Ж - коэффициентом прохождения. При неправильном отражении понятия коэффициентов отражения и прохождения неприменимы.

Если препятствие расположено не в начале координат, а в точке z = z, то правильно отраженная волна есть

p<p[t + ), а правильно прошедшая

Величина 2zolc есть добавочное время пробега отраженной волны по сравнению с отражением от границы, расположенной в точке 2 = 0. Для прошедшей волны соответственная величина

равна 2о (4---) Для гармонической падающей волны р = е* отраженная иг прошедшая в точке л; = О волны запишутся в виде р - е-**; р = Fe**. Для препятствия, расположенного в точке z = z, соответственные формулы имеют вид

р = ехр l-ik {г - 2zo) h

р = W ехр 1/ (k - k) zo + ikzl

Свободная граница и жесткая стенка дают, как мы видели., правильное отражение для волн любой формы. Коэффициент отражения для свободной границы равен-1, а для жесткой стенки +1.

Если отражение правильное, то можно ввести понятие коэффициента отражения и коэффициента прохождения и для скорости частиц, совершенно аналогично тому, как выше он был введе;н для давления. Коэффициент отражения для скорости частиц раве;н по модулю и противоположен по знаку коэффициенту отражения для давления.

Замечательным свойством монохроматических плоских волн в их комплексном представлении является то, что их отражение от линейных плоских препятствий всегда правильное. Препятствие называют линейным, если для него отражение суммы любых дру/х волн равно сумме отражений для этих двух волн в отдельности и отражение любой волны, умноженной на любую постоянную, равно отражению данной волны, умноженному на ту же nio-.стоянную.



Выведем это свойство гармонических волн. Пусть падающая волна р = р {( - г/с) при отражении превращается в некоторую волну р (t -\- zlc). Тогда, в силу линейности препятствия» падающая волна вида dpidt должна превратиться при отражении в волну dpidt, а падающая волна вида -тр превратится в отраженную вида - шр. Но для гармонической волны dpidt = -iap. Значит, dp/dt = -шр, откуда находим, что временная зависимость отраженной волны действительно имеет тот же вид, что и в падающей волне, т. е. отраженная волна дрлжна иметь вид р = = ехр (-l(ot-ikz), где коэффициент определяется

свойствами данного препятствия и, вообще, частотой со волны.

Форма гармонической волны сохраняется при отражении только при комплексном представлении волн. Действительно, если коэффициент отражения есть комплексное число, V = \V е-, то, переходя к вещественной записи, найдем, что падающей волне р = cos {at- kz) соответствует отраженная волна вида

р = II cos (со -Ь fez -Ь е) =

= l"?/] [cos е cos (со + fez) - sin е sin (со -f fez) I.

Таким образом, строго говоря, в этом случае не сохраняет свою форму и гармоническая волна; однако нарушение формы сводится только к сдвигу по фазе по отношению к падающей волне. При комплексном же представлении сдвиг фазы нарушением формы не считают: его относят к коэффициенту отражения и отражение считают правильным.

Рассматривать гармонические волны (в комплексном представлении) в задаче об отражении очень удобно, так как отражение всегда получается правильное. Но сама постановка задачи об отражении гармонических волн отличается от случая падения волны произвольной формы, например ограниченного импульса, В самом деле, пока ограниченный импульс не достиг препятствия, он бежит так, как если бы препятствия не было. Когда импульс достигнет препятствия, вблизи границы возникнет некоторое сложное звуковое поле, зависящее от граничных условий; это - процесс отражения. Через некоторое время падающая волна исчезнет и перед препятствием останется только одна бегущая от препятствия отраженная волна. Таким образом, до отражения имеется только падающая волна, а после отражения - только отраженная. Падающую волну можно считать причиной., а отраженную - следствием в таком же смысле, как камень, падающий в воду, можно считать причиной всплеска.

Для гармонической волны положение другое: нет моментов, когда существовала бы только падающая или только отраженная волна, - гармонический процесс не имеет ни начала, ни конца и «принцип причинности» не работает. Задача об отражении формулируется для этого случая так: две гармонические волны, одна -

5 . М. А. Исакович 129



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 [40] 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0306