Главная Общая акустика - создание упругих волн



Давление и скорость на границе (безразлично, с какой стороны от границы) равны:

2рс , - 2

Р + Р = р = -

pit), v + v = v

-Pit). (43.3)

pV+pc f"-" " " pV+pc

Отношение давления к скорости частиц на границе оказывается равным волновому сопротивлению второй среды рс. Это можно было предвидеть, и не делая расчета, поскольку во второй среде имеется только бегущая волна.

Из формул Френеля видно, что коэффициенты отражения и прохождения зависят не от самих значений волнового сопротивления сред, а от их отношения. Отношение t, = - рс/рс волновых сопротивлений первой и второй среды называют относительным волновым сопротивлением. Формулы Френеля выражаются через относительное волновое сопротивление следующим образом: S-1 2?


Очевидно,

2/(-i-)=-2r(0,

w[\)\wi).

.(43.4) Рис. 43.1. Зависимость коэффициента отражения от относительного волнового сопротивления сред I,. Для g > 1 следует снять с графика значение V для lit, и считать коэффициент отражения положительным.

На рис. 43.1 дан график зависимости коэффициента отражения от t,- Согласно последним формулам можно обойтись участком графика для 1, < 1 (где <0). Значения коэффициента прохождения получаются прибавлением единицы к коэффициенту отражения. При = 1 коэффициент отражения равен нулю и волна, нормально падающая на границу раздела двух сред, проходит из первой среды во вторую целиком, не отражаясь. Картина в первой среде в этом случае такая, как если бы волна полностью поглощалась границей. В этом случае достаточно возникновения только одной волны (прошедшей), чтобы, совместно с-падающей, удовлетворить обоим граничным условиям. При > 1 коэффициент отражения положителен и при -♦ оо стремится к единице.

Значения поля на границе, отнесенные к полю в падающей волне, равны

V-\-V V

- = 2-;

р 1+£ " V - 1-S Эти величины всегда положительны, и их полусумма равна единице. При очень малом (вторая среда акустически очень мягкая по сравнению с первой, как, например, при отражении подводного звука от поверхности моря) давление стремится к нулю,



а скорость частиц стремится к удвоенной скорости в падающей волне. При S очень большом (например, отражение воздушного звука от поверхности моря) к нулю стремится скорость частиц на границе, а удваивается давление. Предельный переход к нулю и к бесконечности соответствует переходу к абсолютно мягкой и абсолютно жесткой границе.

Для иллюстрации сказанного приведем реальные (округленные) соотношения для прохождения звука из воздуха в воду и обратно при нормальном падении плоской волны. Для воды р == = 1 г/см, с?« 1,5-10*см/сек (морская вода), рс = 1,5-Юг/см-сек; для воздуха р = 0,00125 г/cм с = 3,4-10* см/сек, рс = = 42 г/см-сек. При падении звука из воздуха в воду = 3500, «27= 0,99943, Ж = 1,99943, plp = 1,99943, t>7у = 0,00057. При падении звука из воды в воздух = 0,000285, V = -0,99943, F 0,00057, р7р = 0,00057, w7w = 1,99943. Отношение же потока энергии, проходящей через границу раздела, к потоку энергии в падающей волне составляет в обоих случаях 0,00114.

Таким образом, энергия передается из воды в воздух и обратно очень плохо, несмотря на то, что в первом случае давление в прошедшей волне практически удваивается по сравнению с падающей волной, а во втором случае удваивается скорость. Плохая передача звука из воды в воздух создала поговорку: «нем как рыба». В воздухе звуки, создаваемые рыбами, действительно обычно не слышны, но в воде «голоса» рыб и некоторых других морских животных настолько сильны, что иногда мешают действию подводной акустической аппаратуры.

Отношения медленностей звука во второй и в первой среде (обратное отношение скоростей звука) называют коэффициентом преломления второй среды относительно первой; будем обозначать это отношение через п = SlS = с/с. Отношение плотностей сред обозначим через т = р7р. Очевидно, = min. Формулы Френеля выразятся через эти относительные величины так:

= = - <43.5)

Формулы (43.3) приобретают особенно симметричный вид: р 2т у 2п

р ~ т-\-п V т-\-п

Свободную поверхность и абсолютно жесткую стенку можно рассматривать как границу двух сред при определенных предельных свойствах второй среды. Так, свободную поверхность можно рассматривать как предельный случай стремления к нулю плотности или скорости звука, что равносильно предельному переходу m О или п -> оэ. Абсолютно жесткая поверхность явится предельным случаем для стремления к бесконечности плотности или скорости звука во второй среде, что равносильно предельному



переходу т оо или п 0. Отметим, что второе условие соответствует переходу к абсолютно жесткой поверхности только для нормального падения волны; остальные три варианта предельных переходов дадут требуемые граничные условия и для наклонного падения (см. § 55).

Если скорости звука в обеих средах равны, то

=--S> = 1- (43.6)

При равных плотностях обеих сред

= 4- =хЬг- (43.7)

При малом различии волновых сопротивлений сред часто можно пользоваться приближенными выражениями для коэффициентов отражения и прохождения. Пусть, например, = 1 -f е, где е < 1. Тогда, как легко видеть из (43.4), с точностью до малых первого порядка относительно 8

= 4 и ЗГ=1 + 4.

Если близки друг к другу не только волновые сопротивления, но и плотности и скорости звука в обеих средах в отдельности: m = 1 + а, ft = 1 -f р, где а « 1, р « 1, то

Приведем еще несколько видов записи формул Френеля. Через статические характеристики сред - плотность и сжимаемость - коэффициенты отражения и прохождения выражаются так:

v Р7р + v Р/Р v Р7р + VP/P

при отражении от границы двух разных газов, находящихся при одинаковом давлении,

где а = у/у - отношение отношений теплоемкостей для обоих газов, am - отношение молекулярных весов газов.

При отражении от границы между двумя объемами одного и того же газа, находящимися при одинаковом давлении, но при разных абсолютных температурах {Т и Т"),

w= j-j: У= (43.9)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 [42] 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.013