Главная Общая акустика - создание упругих волн



два: отраженный и прошеДший, и амплитуды полей, соответствующих лучам, можно найт1И по формулам Френеля. Лучи, соответствующие отраженной олне, геометрически совпадут с падающими лучами, но акусти1чески это разные лучи: звук бежит в лучевых трубках падающей и отраженной волн в противоположных направлениях. Для луч(ей имеет место принцип суперпозиции: полное поле в данной точ1ке равно сумме полей, приносимых в данную точку всеми лучами, проходящими через эту точку.

Из построения лучей ясно, что лучевая картина не зависит от длины волны (при услови1и, что длина волны уже настолько мала, что лучевая картина вособще применима). Однако при суперпозиции лучей, например случае суперпозиции падающих и отраженных лучей, поле в каждой определенной точке зависит от длины волны, так как еею определяется соотношение фаз волн, распространявшихся по составляющим лучам и пришедшим в данную точку. Таким образцом, для монохроматической волны в нашем случае лучевая картина еще не исчерпывает характеристик поля: поле разбивается на лучи, но в каждой лучевой трубке будет волновая картина интерференции.

§ 45. Провод1Имость и импеданс линейного препятстви$я- Поле перед препятствием

Вернемся к отражениям от препятствий с резкими границами.

Часто приходится вс-тречаться с линейными препятствиями, отражение волн от котсорых неправильное. В этом случае для нахождения отражения 1применяют метод Фурье, разлагая падающую волну в суперпози1ию гармонических плоских волн разных частот, которые, как бьио показано в § 42, отражаются без изменения формы, но, вообщ<е, с разными коэффициентами отражения. Суперпозиция отраженных гармонических волн и дает результирующую отраженную волну. Таким образом, можно ограничиться задачей об отрая<ении только гармонических волн. Коэффициент отражения гармонической волны зависит не только от препятствия, но и от срДЫ, из которой падает и в которую отражается волна. Поэтому желательно дать такую характеристику препятствия, которая н зависела бы от вида среды, в которую оно помещено.

Рассмотрим отражен1ие гармонической волны от препятствия, яомещенного в точку г = О- Пусть падающая волна есть р = = Ро ехр (-iat + ikz). Тогда отраженная волна должна иметь вид р = Роехр(-iat-ikz) и результирующие давление и скорость частиц на границе соответственно равны:

(р + р),о = (1 +)р,о~", (t + b).=o = -(l-V)poe-<.

Эта скорость одновреме1Нно является скоростью поверхности препятствия, вызванной результирующим давлением (р -f p)=o, син-



фазно действующим на всю поверхность препятствия. Отношение скорости к давлению на границе не зависит от времени. Будем называть его входной проводимостью препятствия для данной частоты при нормальном падении и обозначать буквой Y, Легко видеть, что

1 \-У - рс 1 X.<V

(45.1)

\Р + Р/;

Проводимость - это и есть желаемая характеристика препятствия: эта величина не зависит от вида среды, соприкасающейся с препятствием, и не зависит даже от того, имеется ли вообще такая соприкасающаяся;реда. Давление можно было бы прикладывать не при помощи звуковой волны, а, например, твердым поршнем, пондеромоторными силами, синфазно действующими на всю поверхность препятствия, и т. п. Во всех этих случаях отношение скорости к давлению на поверхности препятствия окажется для данной частоты одним и тем же.

Проводимость данного препятствия может зависеть только от частоты; коэффициент же отражения гармонической волны, отражающейся от данного препятствия, зависит и от свойств среды. Действительно, из (45.1) находим

Если препятствием является вторая среда, то проводимость препятствия есть волновая проводимость этой среды: Y = = 1/рс, и (45.2) можно свести к первой формуле (43.2). В этом случае (как и для идеальных границ) проводимость препятствия не зависит от частоты; отсюда следует, как мы уже знаем из § 43, что в этом случае при отражении свою форму сохраняют все волны и что формула (45.2) годится дляволнлюбой формы.Вооб-ще же проводимость препятствий других типов от частоты зависит, волны произвольной формы при отражении от таких препятствий свою форму меняют, а для гармонических волн формула (45.2) годится, только если для каждой частоты подставлять свое значение проводимости.

Если препятствие - некоторая известная конструкция, то его проводимость можно рассчитать по законам механики. Ниже мы дадим такой расчет для ряда различных препятствий. Когда постоянно имеют дело с одной и той же средой (обычно это воздух или вода), в которую помещают различные препятствия, удобно пользоваться величиной относительней проводимости ц - отношением проводимости препятствия к волновой проводимости среды: Т1 = pcV. Коэффициент отражения выражается через относительную проводимость формулой

J-TL (45.3)

- 1+11 •



Во многих задачах удобнее пользоваться не проводимостью, а обратной величиной - так называемым входным импедансом препятствия Z = 1/Y, равным отношению гармонически меняющегося давления на поверхности препятствия к вызываемой этим давлением скорости поверхности. Коэффициент отражения гармонической волны выражается через импеданс поверхности формулой

=4- (45-4)

Вводя относительный импеданс препятствия = = Z/pc как отношение импеданса к волновому сопротивлению среды, выразим коэффициент отражения формулой

= -- (45.5)

В дальнейшем будем характеризовать свойства поверхности то проводимостью, то импедансом, в зависимости от того, что даст возможность получить более простые формулы.

Рассмотренные в § 41 препятствия в виде свободной границы и жесткой стенки также можно охарактеризовать проводимо-стями или импедансами. Импеданс свободной границы равен нулю, ее проводимость равна бесконечности; импеданс жесткой стенки равен бесконечности, ее проводимость равна нулю. Если относительная проводимость препятствия велика по сравнению с единицей (модуль импеданса мал по сравнению с волновым сопротивлением среды), то коэффициент отражения близок к -1, так что препятствие ведет себя подобно свободной границе. Если относительная проводимость препятствия мала сравнительно с единицей (модуль импеданса велик по сравнению с волновым сопротивлением среды), то коэффициент отраженияблизок к -f-1, так что препятствие ведет себя подобно абсолютно жЪсткой стенке. Одно и то же препятствие при данной частоте может вести себя то как свободная граница, то как жесткая стенка, в зависимости от волнового сопротивления среды, в которую помещено препятствие. С другой стороны, как увидим ниже, в одной и той же среде одно и то же препятствие может вести себя то как жесткая стенка, то как свободная граница, в зависимости от частоты.

Проводимость препятствия может быть не только вещественным (как в случае препятствия в виде другой среды), но и комплексным числом (примеры таких препятствий рассмотрены в следующих параграфах). Если проводимость чисто мнимая, то модуль коэффициента отражения равен единице, так как в этом случае числитель и знаменатель выражения для коэффициента отражения отличаются только знаком действительной части. В общем случае проводимость имеет как мнимую, так и вещественную части. Положим Y = R + iX, где R и X - вещественные. Тогда



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 [45] 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0211