Главная Общая акустика - создание упругих волн



сред, или, (на этот раз заимствуем термин из оптики) о просветлении границы раздела между средами, путем помещения между ними некоторого слоя. Такое просветление очень важно, например, в вопросах излучения звука в среду, резко отличающуюся по волновому сопротивлению от материала излучателя, а также в звуковой оптике, где отражения на границах звуковых линз не только уменьшают фокусируемую энергию, но и создают «фон» несфокусированного звука, ослабляющий контрастность акустического изображения (снова аналогично ситуации в оптических приборах, с той разницей, что коэффициенты отражения в акустике, как правило, велики по сравнению с отражением света от границы стекла с воздухом).

В качестве просветляющего слоя в акустике можно применить резонатор типа «пружинка-масса», составленный из сосредоточенной упругости к и сосредоточенной массы р,. Пусть такой резонатор вставлен между средами с волновыми сопротивлениями рс и рс, причем рс г> рс. Тогда для гармонической волны, падающей из первой среды, просветление можно получить, если резонатор вставлен пружинкой в сторону падающей волны. В самом деле, в этом случае масса р, резонатора будет нагружена на волновое сопротивление второй среды рс, так что импеданс нагруженной массы равен -шц + рс; проводимость нагрузки на пружину равна, следовательно, 1/(-шр, + рс). Но проводимость сосредоточенной упругости складывается с проводимостью нагрузки. Следовательно, входная проводимость нагруженного осциллятора равна

Yr= I !

Для того чтобы отражение отсутствовало и прохождение было полным, требуется выполнение равенства Y = 1/рс. Приравнивая вещественные части этого равенства, получим

со-*

Частота полного пропускания оказывается меньше резонансной частоты осциллятора. Элементы осциллятора данной частоты найдем, приравнивая мнимые части равенства Y = 1/рс;

кщУрсрс, ц = - Урсрс.

Легко проверить что подобранный таким образом осциллятор даст полное просветление и для волны, падающей со стороны второй среды; при этом расположение элементов осциллятора должно оставаться прежним; элемент упругости должен прилегать к более жесткой среде, а элемент массы - к менее жесткой. Одинаковое прохождение с одной и с другой стороны - пример «принципа взаимности» в акустике.



§ 49. Препятствия в виде плоскопараллельных слоев

В одномерной задаче об отражении нормально падающей волны всякое препятствие можно рассматривать как плоскопараллельный слой или последовательность таких слоев. Для нахождения отражения достаточно знать проводимость препятствия или его импеданс: коэффициент отражения получится по формуле (45.2) или (45.4). Найдем импеданс однородного слоя, нагруженного задней стенкой на заданный импеданс Z. Решения этой задачи будет достаточно для нахождения импеданса любой последовательности слоев; в самом деле, достаточно будет найти импеданс последнего слоя последовательности, принять его за нагрузку предпоследнего слоя и т. д., вплоть до нахождения импеданса на передней стенке первого слоя.

В прошлых параграфах мы уже решали аналогичные простейшие задачи, но только приближенно, для слоев малой толщины по сравнению с длиной волны, считая механические свойства таких слоев «сосредоточенными». Теперь дадим точное решение задачи. Попутно получатся и границы применимости понятий о «сосредоточенных» массе и упругости.

Итак, пусть требуется найти импеданс нагруженного слоя толщины h, и пусть плотность и скорость звука в веществе слоя равны соответственно ро и cq. Из соображений симметрии ясно, что для данной частоты ш наиболее общий вид одномерного поля в слое есть (с точностью до произвольного множителя) суперпозиция двух плоских волн, бегущих друг другу навстречу:

Волну, бегущую в отрицательном направлении, можно считать отражением (коэффициент отражения Ч/) от препятствия с импедансом Z волны, бегущей в положительном направлении. Считая, что начало координат расположено на задней стенке слоя,, имеем

На передней стенке слоя, в точке z = -h, давление равно

~ -fpoc.

Скорость частиц в этой же точке выразится формулой

1 (e-f*,* *.Л) = 2 -iZ sin M-f PflCpCOSfeoft PeCo PoCe Z-f PoCo



Деля одно равенство на другое, найдем искомый импеданс слоя с нагрузкой, а после элементарных переделок и соответственную проводимость {¥ = 1/Z):

(49.1)

1 WipoCo)igkoh + Y

Импеданс и проводимость оказываются зависящими не только от вещества слоя и от нагрузки, но еще и от величины kf,h - набега фазы волны данной частоты на толщине слоя". Таким образом, импеданс определяется интерференционной картиной внутри слоя. При увеличении толщины слоя значения импеданса будут повторяться с периодом изменения толщины слоя, равным половине длины волны. Если2"-чисто мнимое, тоZтакже чисто мнимое и при изменении толщины слоя будет изменяться по модулю от О (при tg kgh = ZV/poo) до оо (при tg koh = -ipoCo/Z). Для слоя толщиной в целое число полуволн {kgh = In) формула (49.1) дает Z = Z, т. е. слой толщиной в полволны или в целое число полуволн не меняет импеданса нагрузки, а значит, коэффициент отражения от такого слоя будет таким же, как от нагрузки в отсутствие слоя.

Исследуем полученную формулу для импеданса и рассмотрим важнейшие частные случаи. Пусть задняя стенка слоя свободна: Z = О {У = об). Импеданс и проводимость слоя будут равны (индекс символизирует величину импеданса или, соответственно, проводимости нагрузки):

Zo = - фоСо tg koh, Ксо = -rV ctg М. (49.2)

Слой действует как «эффективная» сосредоточенная масса, распределенная с плотностью

где [А = Ро/г, как и ранее, - фактическая поверхностная плотность слоя.

Пусть позади слоя жесткая стенка: Z = оо (У = 0). Соответственные импеданс и проводимость будут равны

Zoo = tpoCoCtgo, Yo = -igkoh. (49.3)

Слой действует как «эффективная» сосредоточенная упругость и = росоо ctg koh = xkoh ctg koh, где к = Ро/Л - статический коэффициент упругости слоя. 156



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [49] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0105