Главная Общая акустика - создание упругих волн



<морекое волнение) передача возмущения водной поверхности осуществляется силой тяжести, в магнитоакустических волнах - лоренцевыми силами. Законы распространения всех механических волн сходны между собой. В этой книге мы рассмотрим только упругие волны.

§ 6. Поперечные волны на струне

Классический пример распространения волн - поперечная волна на математической идеальной струне. Так называется бесконечная абсолютно нерастяжимая идеально гибкая нить, натянутая с некоторой постоянной силой *). «Средой» является в данном случае натянутая нить.

Пусть по струне бежит волна поперечных отклонений. Форму деформированной струны можно считать профилем смещений

J. струны. Если возмущение занимает ограниченную область на струне, то неподвижную систему отсчета можно считать связанной



Рис. 6.1. Силы, действующие Рис. 6.2. Самопересекающийся на. элемент струны, и их pfe- профиль бежит поструне с той зультирующая. же скоростью, что и волна лю-

бой другой формы.

СО струной вне области возмущения: перенос массы, осуществляемый возмущением, бесконечно мал по сравнению с полной массой бесконечной струны. Поэтому, если нам удается найти такую скорость с подвижной системы отсчета, что профиль струны в этой системе неподвижен, то частицы струны пробегают этот неподвижный профиль с той же скоростью с. Тогда ускорение элемента струны, пробегающего в данный момент времени некоторую точку неподвижного профиля, равно Л, где и - кривизна профиля в этой точке, и направлено по главной нормали к профилю в этой точке.

Обозначим натяжение струны через Т и ее погонную плотность через р. Элемент струны длины ds имеет массу р ds. Значит сила, которая должна действовать йа элемент ds для осуществления данного движения, равна сар ds и также направлена по главной нормали к профилю. Но единственные силы, действующие на элемент ds, - это силы натяжения на его концах (рис. 6.1). Их равнодействующая равна Ту, ds и направгена по главной нормали

*) «Физическая» струна-растяжимая гибкая нить, растянутая постоянной силой.



к элементу. Условие осуществления данного движения имеет вид

Тк ds = схр ds,

откуда

Это соотношение не зависит от формы профиля волны; при любой форме профиль остается неизменным и бежит относительно струны со скоростью

Заметим, что неизменность формы сохраняется и у неплоских, и у самопересекающихся профилей, например имеющих вид витка (рис. 6.2). Такая «баранка» будет бежать по струне с той же универсальной скоростью УТ/р.

§ 7. Изгибные волны на стержне

Более сложный случай - изгибные волны на упругом стержне. Напомним, что понятие изгибных волн само по себе есть некоторая аппроксимация, предполагающая, что все поперечные сечения стержня остаются при изгибе плоскими, а средняя линия остается нерастянутой. Тогда, как известно, взаимодействие элементов стержня сводится к перерезывающим силам F, действующим перпендикулярно к средней линии, и изгибающим моментам М, перпендикулярным к плоскости изгиба. Эти величины связаны соотношением

где s-длина дуги средней линии стержня. Такая аппроксимация требует только малости высоты поперечного сечения стержня по сравнению с радиусом кривизны профиля, т. е. малости деформаций материала стержня, но нисколько не ограничивает ни величину смещений точек стержня от положений равновесия, ни углы наклона профиля к невозмущенной оси стержня, т. е. не ограничивает форму средней линии в целом.

Как и для струны, «остановим движение» и найдем условие неизменности профиля. Мы увидим сейчас, что «остановить» удается только профили, продолжающиеся периодически неограниченно по всему стержню. В таких волнах нет невозмущенных участков стержня. Поэтому нужно будет различать искомую скорость с подвижной системы относительно центра тяжести стержня и скорость v протекания среды по «остановленному» профилю.

Найдем сначала скорость протекания v. Как и для струны, результирующая сила, действующая на элемент стержня ds, равна pvK ds и совпадает по направлению с нормалью к профилю волны в данной точке (ограничимся волнами, оставляющими среднюю



линию стержня в одной плоскости). Равнодействующая сил, действующих на данный элемент стержня, образована разностью перерезывающих сил наконцах элемента. Она равна

dF , ,

--ds=-- ds

и также направлена по нормали к профилю. Но, как известно, изгибающий момент пропорционален кривизне стержня: М = Gk, где G - изгибная жесткость стержня - величина, зависящая оУ упругих свойств материала стержня и от размеров и формы его поперечного сечения. Следовательно, условие неизменности профиля волны выражается уравнением

+ (7.1)

В отличие от соответственного условия для струны, оно удовлетворяется не при всякой форме профиля: его можно рассматривать как уравнение для кривизны профиля тех волн, которые распространяются без изменения формы; скорость протекания среды через остановленный профиль есть произвольный параметр задачи.

Выбирая удобным образом начало отсчета дуг, можем записать общее решение уравнения (7.1) в виде

X =хо cos ks, (7.2)

k = vVplG, (7.3)

а произвольная величина -амплитуда кривизны профиля. Зависимость кривизны от длины дуги средней линии стержня оказывается, таким образом, синусоидой с волновым числом, пропорциональным скорости протекания.

Угол наклона стержня к оси х выразится формулой

Ф = Фо sin ks, (7.4)

где амплитуда угла наклона равна фо = Ко/k. На рис. 7.1 построены по формуле (7.4) профили волн с одной и той же скоростью протекания (а значит, и с одинаковыми длинами волн), но с различными амплитудами угла наклона. Числа означают амплитуду угла наклона в радианах.

Из (5.2) и (7.3) следует, что частота изменения кривизны для каждого элемента стержня равна со = vk - Vp/G. Отсюда следует, что скорость протекания v связана с волновым числом и с частотой формулами

v=k УЩ = к« VgJp. (7-5)

Скорость с перемещения профиля относительно неподвижной системы координат зависит как от длины волны А, = 2nlk) так и от



0 1 2 3 4 [5] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.016