Главная Общая акустика - создание упругих волн



Пользуясь этими формулами, нетрудно выразить импеданс и проводимость в общем случае (формулы (49.1)) через величины Z, Zo и Zoo или через Y, и Уа,:

Y = Ya

7 7 ~Ьо

- Z + Z

1 СО

У + Ур

У + У<.

(49.4)

В некоторых случаях выражения (49.4) можно упростить. Пусть, например, Z]<Zco. Тогда, пренебрегая в знаменателе в первой формуле (49.4) величиной Z по сравнению с Zoo, найдем приближенно

Z = Z + Zo.

(49.5) 06


Рис. 49.1. Сравнение импедансов слоя конечной толщины (1) и сосредоточенной массы (2), равной полной массе слоя.

В этом случае импеданс нагрузки просто прибавляется к импедансу слоя в отсутствие нагрузки. Если, кроме того, толщина слоя мала по сравнению с длиной волны, koh С I, то приближенно fi fi. Значит, слой можно считать сосредоточенной массой при выполнении двух условий: Z С Zo, и koh < I. Для аддитивности нагрузки достаточно первого условия.

Аналогично, если 7 < Ко , то в знаменателе второй формулы (49.4) можно пренебречь 7 по сравнению с Уаэ и приближенно принять

Y = Y + Уо. (49.6)

В этом случае проводимость нагрузки просто прибавляется к проводимости слоя, опертого на жесткую стенку. Если,кроме того, толщина слоя мала по сравнению с длиной волны, то приближенно х X, и формула (49.6) примет вид (47.8). Значит, слой можно считать сосредоточенной упругостью при выполнении двух условий: I К <С I }со и koh <С I- Для аддитивности проводимостей достаточно первого условия.

Таким образом, для того чтобы данный слой можно было считать сосредоточенным, недостаточно, чтобы он был тонок по сравнению с длиной волны: важно еще, какова нагрузка на слой. При некоторых нагрузках тонкий слбй можно считать сосредоточенным, а при других нет. Тонкий слой можно считать сосредоточенной массой, если импеданс нагрузки достаточно мал, и сосредоточенной упругостью, если импеданс нагрузки достаточно велик.

Вернемся к слою с нулевым импедансом нагрузки и сравним зависимость его импеданса от частоты с зависимостью импеданса сосредоточенной массы, равной массе данного слоя. В качестве ар- гумента удобно взять величину koh, пропорциональную частоте. На рис. 49.1 показаны графики величины iZ для слоя и для сосредоточенной массы. Для слоя получается тангенсоида, для сосре-



доточенной массы - прямая, вначале идущая весьма близко к тангенсоиде; расхождение достигает, например, 10%, только начиная с kh = 0,515. Импеданс слоя растет быстрее, чем импеданс сосредоточенной массы, равной массе слоя, т. е. быстрее чем частота, или, при фиксированной частоте, чем толщина слоя. При kh = я/2 импеданс обращается в бесконечность и меняет знак, приобретая характер упругости. Далее импеданс уменьшается по модулю при увеличении частоты и обращается в нуль при kh = я. После этого весь цикл изменений импеданса повторяется снова с периодом изменения koh, равным я.

"рафик рис. 49.1 является, с точностью до вертикального масштаба, графиком проводимости (точнее говоря, графиком величины-iY) для слоя, опертого на жесткую стенку. Прямолинейный график даст проводимость сосредоточенной упругости для коэффициента упругости, равного Pod/h. Здесь также различие в проводимостях слоя и сосредоточенной упругости остается меньше 10%, пока величина kgh не превосходит 0,515. При увеличении kgh проводимость слоя растет, обращаясь в бесконечность при kgh = я/2. При дальнейшем увеличении k(,h проводимость меняет знак, приобретая массовый характер, уменьшается до нуля (при koh = я), и далее весь цикл изменения проводимости повторяется с периодом я.

Возвращаясь к задаче об отражении от слоя, найдем коэффициент отражения звука от нагруженного слоя в виде

~ 2[(2+2o)]/(2+2)] + pc-Z„(Z + Z„) + p<:(Z+Z4 •

где рис - плотность и скорость звука в среде перед слоем, из которой на слой падает волна. Аналогичную формулу для "2/ можно написать и, через проводимости:

-У(У-Ь Уо) + (1/Рс)(У + У)

Важный частный случай - слой, помещенный в среду. В этом случае нагрузка на слой равна рс и коэффициент отражения равен

- ZZ„ + 2Zpc+(pc)2 У„У„ + 2(1/рс)У+(1/рс») -«

ИЛИ, после подстановки выражений (49.2) и (49.3) и простых преобразований,

qr =--, (49.9)

2-itgM(y-f)

где через I, = PuCjpc обозначено отношение волновых сопротивлений вещества слоя и вещества среды.



По импедансу слоя можно найти только отраженную волну. Но в задаче о слое как препятствии интересно рассмотреть не только коэффициент отражения, но и прошедшую волну и волны, распространяющиеся внутри слоя. Поэтому заново рассмотрим всю задачу о падении волны на слой, помещенный в среду. Начало координат выберем теперь на передней границе слоя. Пусть падающая волна есть е*, отраженная е-*, прошедшая и пусть внутри слоя бегут волны .se*°= и На границах

слоя, т. е. в точках z = О я z = h, должны выполняться граничные условия: равенство давлений и скоростей частиц по обе стороны границы. Для границы г = О найдем

I -\-q/ = s4- + ) = s -. (49.10)

Для границы г = h найдем аналогично

-f е-« = Ж, зФё - = 1Ж\ (49.11)

Здесь для краткости через а = kh обозначен набег фазы в веществе слоя на толщине слоя. Из уравнений (49.10) находим

= y[l+-f (1-)]. =[1+-(1-)]. (49.12)

Из (49.11) получим

se - е-" (зФ-Щ cos а + t (л? + X) sin а еа е-а ~ (.я + ) cos а + i (.я - ) sin а - •

Подставляя сюда выражения (49.12) для я Я, получим уравнение для определения коэффициента отражения; решая его, найдем

=-Ц-j-- (49.13)

(что, конечно, совпадает с (49.9)). Но мы можем найти амплитуды и других волн:

2/cosa (IP l-tgg

- + , • -(49.14)

2-»tga(- + j

Возвращаясь к подробным обозначениям, можно переписать выражения для коэффициентов отражения и прохождения



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 [50] 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0093