Главная Общая акустика - создание упругих волн



следующим образом (т = ро/р, п - с/с о):

=-JSSllpl-.

2-/tg(n.«)(+) п)

(49.15)

Исследуем полученные формулы. При kh = In, когда на толщине слоя укладывается целое число полуволн, коэффициент отражения обращается в нуль и волна проходит через слой полностью: Ж = I. Это кажется парадоксальным, особенно при большом различии волновых сопротивлений среды и вещества слоя. Согласно изложенной теории плоская волна частоты 1000 гц, падающая в воздухе нормально на стальную плиту толщиной 2,75 м, должна пройти насквозь без отражения! В действительности, в полном согласии с интуицией, такое явление никогда не наблюдается. Причина этого делается понятной, если подробнее рассмотреть этот случай полного прохождения. При fioh = 1 имеем tg {п/гН) = О и величины s4- я делаются равными si- = = (1 + Q/2, к = {I - Q/2. Давление и скорость частиц в слое равны соответственно

р= cosz-fitsin*o2,

1 / In (49.16)

v =-( cos fiz + i -у- sin kz ).

При большом различии волновых сопротивлений в среде и в слое, т. е. при > 1 (как в примере со стальной плитой в воздухе, когда «=! 10) или при С <С 1 (как было бы, например, при полном прохождении звука из стального полупространства в стальное полупространство через воздушный слой толщиной в полволны: t, = 10), поле в слое близко к стоячей волне с узлами давления или скорости на границах слоя. Амплитуда этих колебаний (давления - в первом случае и скорости частиц - во втором) весьма велика по сравнению с соответственными величинами в падающей волне: это резонансное колебание слоя.

Показательно сравнение плотности энергии в таком полуволновом слое с плотностью энергии в падающей волне. В падающей волне единичной амплитуды плотность энергии есть

Е = р/2

(Р = 1/рс - сжимаемость среды). Внутри слоя плотность энергии равна сумме плотностей энергии волны амплитуды s4-, бегущей вперед, и волны амплитуды , бегущей в противоположном направлении. При резонансе, т. е. при /гк = In, плотность энергии равна

£. = тР.(-ЧГ+тС.(-)=тР.(+с)



(Ро = -сжимаемость материала слоя). Отношение плотностей энергии внутри и вне слоя составляет

Для стального полуволнового слоя в воздухе это отношение превышает 3000. Для полуволнового воздушного слоя между двумя стальными полупространствами это отношение превысило бы миллион. Таким образом, полное прохождение через полуволновую пластину соответствует весьма острому резонансу и малые отклонения по частоте сразу сильно уменьшат пропускание. В самом деле, при kh = /л (1 + е), где е < 1, находим из (49.13) с точностью до

Отсюда следует, что требуемое для получения данного (по модулю) коэффициента отражения V относительное изменение частоты е составит

s = -7--г или е = -

соответственно для случаев 1 и <С 1- Для стальной пластины в воздухе толщиной в полволны достаточно изменить частоту менее чем на 1/100 ООО долю (в нашем примере на 1/100 гц) или изменить в том же отношении толщину пластины (в нашем примере на 28 микрон), чтобы прошла лишь половинная энергия колебания, а вторая половина отразилась {\V\ = 0,7). Для того чтобы отразилось 99% падающей энергии, достаточно изменить частоту на 1/10 000 долю (0,1 гц) или изменить толщину всего на четверть миллиметра. Наконец, при наличии затухания в материале слоя снова появляется отражение, и полное прохождение получить нельзя. Например, если бы угол потерь в стали составлял всего 1/100 ООО (при этом волна, распространяющаяся в неограниченной среде, затухала бы в е раз, лишь пробежав расстояние в полмиллиона длин волн), в нашем примере отразилась бы уже половина падающей энергии.

Эти числа приведены только для иллюстрации: действительные условия всегда еще больше отличаются от идеальных, и поэтому при большом различии волновых сопротивлений среды и слоя коэффициент отражения по модулю практически всегда равен единице.

При отношении волновых сопротивлений порядка нескольких единиц или десятков расчетные условия достаточно выдерживать более грубо, избирательное пропускание выражено отчетливо и полуволновую пластинку или пластинку толщиной в целое

6 М. А. Исакович 161



число полуволн можно использовать как монохроматор. Например, для = 30 (что примерно соответствует стальной пластинке в воде) ширина линии пропускания для полуволновой пластинки составит примерно 4% от частоты полного пропускания. Волны с частотами, отличающимися меньше чем на 2% от частоты полного пропускания, проходят с амплитудами, не меньшими 0,7 от амплитуды падающей волны. Для пластинки толщиной в целую длину волны ширина пропускания составит только 2% и т. д. Монохроматизация усиливается при увеличении числа полуволн, укладывающихся на толщине слоя.

Заметим, что полуволновой слой обычно не используют как монохроматор по частотам, так как на ультразвуковых частотах, для которых только и возможно практически создать в среде плоские волны, излучатели дают сами по себе весьма узкополосное излучение. Но, как увидим в § 60, слой может выделять волны по направлениям, так что при фиксированной частоте через данный слой будут проходить только плоские волны, близкие к одному определенному направлению. Поэтому такой слой используют как монохроматор гармонических волн по направлениям волновых векторов.

Вернемся снова к задаче о «просветлении» границы между двумя различными средами. Эта задача была решена в § 48 при помощи сосредоточенных препятствий (массового и упругого препятствия). Теперь решим эту же задачу, используя слой конечной толщины. Подберем такой материал и такую толщину слоя, чтобы, помещая этот слой между двумя средами с заданными волновыми сопротивлениями, получить полный переход звуковой энергии из первой среды во вторую, т. е. чтобы коэффициент отражения обращался в нуль. Для этого импеданс искомого просветляющего слоя, нагруженного на волновое сопротивление второй среды, должен равняться волновому сопротивлению первой среды. Полагая в (49.1) Z = рс, запишем это условие в виде

PoCo pctgM + PoCo • -y

3a исключением тривиального случая pc=pc, это соотношение, рассматриваемое как уравнение относительно PqCq, имеет решение только при бесконечном значении тангенса. Следовательно, тол-

21 -4- 1

щину слоя нужно принять равной kh = ---л (/ - целое). Тогда из (49.17) сразу получается условие просветления

• 9<fo = Урсрс, (49.18)

Итак, просветляющий слой должен иметь толщину, равную нечетному числу четвертей волны в материале слоя, а волновое сопротивление этого материала должно равняться среднему гео-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 [51] 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0146