Главная Общая акустика - создание упругих волн



метрическому волновых сопротивлений просветляемых сред. Ясно, что слой, просветляющий границу для прохождения звука из первой среды во вторую, явится просветляющим и для прохождения звука той же частоты в обратном направлении, - еще один пример «принципа взаимности».

При изменении частоты прохождение будет неполным и появится отражение. Если принять

fe„ft = ii±i-„(i+e), где li+Lml,

то коэффициент отражения выразится приближенной формулой

* рс рс /

2 + ,-2HJ., /N-2 V рс р с /

При большом различии волновых сопротивлений сред коэффициент отражения быстро растет при удалении от частоты просветления.

Можно показать, что полностью устранить отражение можно даже при наличии поглощения звука в материале просветляющего слоя, для этого потребуется только соответственно изменить толщину слоя и подобрать несколько измененную плотность или скорость звука в материале слоя. Но при этом прохождение звука . будет неполным: часть звуковой энергии поглотится в самом слое.

В то время как для монохроматора узость полосы пропускания - вообще желательное свойство, для просветляющего слоя это - недостаток. Чем большее число полуволн добавлено к четвертьволновому слою, тем уже пропускаемый им диапазон частот. Поэтому, обратно тому, что рекомендуется для монохроматора, просветляющие слои следует делать минимальной толщины - в одну четверть волны.

-§ 50. Отражение негармонических волн

От препятствий, проводимость которых зависит от частоты, негармонические волны отражаются неправильно. В этом случае отраженную волну будем искать при помощи метода Фурье. Для этого падающую волну

p = p(t-±) (50.1)

разложим в интеграл Фурье:

p(t-~)=- I Ра.е-"- da, (50.2)

6* 163



где спектральная плотность определится по формуле

"-=1 Р {t~)e--l dt. (50.3)

Волны, соответствующие элементам интеграла

pg ,a>(/-z/c) cLti)

испытают правильное отражение и превратятся в отраженные волны вида

((u)pe-i(t+l\d<i>,

где V (ю) - значение коэффициента отражения для гармонической волны частоты со. Согласно сказанному в § 22 (-со) = = (©). Искомая отраженная волна найдется путем интегрирования по частоте всех элементарных отраженных волн:

р (/ + i-j = <г/(о>)ре-"(+/) da. (50.4)

Заметим, что частотная зависимость коэффициента отражения от реальных препятствий не может быть произвольной. В самом деле, если передний фронт падающей волны еще не дошел до препятствия, то формула (50.4) должна давать нулевые значения для всех моментов времени, пока передний фронт волны, отразившись от препятствия, не достигнет данной точки, т. е. пока фронт не пробежит расстояние до препятствия плюс расстояние от препятствия до данной точки. Например, невозможна частотная зависимость коэффициента отражения вида"?/ (со) = S ((ОЮо), т. е. неосуществимо препятствие, отражающее волны только одной-единственной частоты и поглощающее или пропускающее все остальные гармонические волны. В самом деле, в этом случае окажется, что при р =f О отраженная волна будет отлична от нуля во всех точках и во все моменты времени, т. е. отраженная волна появится до того, как падающая волна упадет на препятствие; что противоречит принципу причинности. Невозможен также коэффициент отражения вида V (со) = sin тсо: в этом случае принцип причинности окажется нарушенным для падающей волны, имеющей вид короткого импульса.

Если известна частотная зависимость проводимости данного препятствия:- У = У (со), то формулу (50.4) можно переписать в виде



или через импеданс Z = 1/У

В качестве иллюстрации рассмотрим препятствие в виде сосредоточенной массы с поверхностной плотностью р., импеданс которого равен Z (со) = -tcop,. При отрицательных частотах Z, как и следует, обращается в комплексно-сопряженную величину:

Z (-со) = Z* (со) = 1(лц.

Волна, отраженная от такого препятствия, имеет вид .

со -со

Здесь введено обозначение Q = рс/р,.

Возьмем для примера в качестве падающей волны экспоненциальный импульс:

р = 0 при 2/с<0,

pg-a{t-z/c) при t - z/cO.

Если препятствие расположено в точке 2 = 0, то передний фронт этого импульса достигнет препятствия в момент времени 1=0. Спектр импульса имеет вид ра = i/2n (со + ia), так что отраженная волна (50.5) принимает для данного случая вид

Интеграл в данном случае легко вычислить методом вычетов. Заметим раньше всего, что при + 2/с<0 (моменты времени до прихода отраженной волны) в верхней плоскости комплексного переменного со (1шсо > 0) подынтегральное выражение экспоненциально стремится к нулю при уходе на бесконечность. Поэтому путь интегрирования в (50.6) - действительную ось - можно замкнуть в верхней полуплоскости полуокружностью бесконечно большого радиуса. Но в верхней полуплоскости подынтегральное выражение не имеет полюсов; следовательно, интеграл равен нулю, что и следовало ожидать согласно принципу причинности. При t -\- z/c О замыкание контура интегрирования можно провести в нижней полуплоскости. Но на нижней полуплоскости подынтегральное выражение имеет полюсы; следовательно, интеграл равен сумме вычетов в этих полюсах.

При а Ф Q на нижней полуплоскости имеются два простых полюса в точках со = -ia и со = -Ш, и интеграл оказывается равным

p{t + z/c) = le- - -- (+/). (50.7)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 [52] 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0131