Главная Общая акустика - создание упругих волн



При а = Й находим либо непосредственно из (50.6), либо предельным переходом из (50.7):

р + -у-) = (1 - 2Qt) е-2 е+г/).

(50.8)

На рис. 50.1 дан профиль падающей волны и профили отраженных волн, рассчитанные по формулам (50.7) и (50.8) Для случаев а/Й = 1/2; 1; 2. Форма волны при отражении меняется. Легко убедиться непосредственным подсчетом, что суммарная энергия отраженной волны [равна суммарной энергии падающей волны при любом значении р. Ясно, что такое соотношение


Рис. 50.1. Изменение формы профиля при отражении экспоненциального импульса (пунктир) от сосредоточенной массы разной величины. / - отражение от «легкой» стеики, 2 - промежуточный случай, 3 - отражение от «тяжелой» стенки.

всегда будет выполнено при любом чисто мнимом («реактивном») входном импедансе препятствия, когда модуль коэффициента отражения для любой частоты равен единице и спектр отраженной волны отличается от спектра падающей только фазами компонент, что не влияет на энергию волны.

§ 51. Теория длинных линий

Мы уже говорили, что одномерная задача о распространении волн в жидкой среде допускает, помимо плоской волны в неограниченной среде, целый ряд других интерпретаций, в которых тем же соотношениям, что имеют место для давления и скорости частиц в жидкости, удовлетворяют другие величины. Различные интерпретации может получить и плотность среды. Неизменной остается интерпретация скорости волны: все переменные величины в волне зависят от времени и координаты только через биномы t + zlc, где с есть величина, характерная для данной среды, -



скорость звука или, вообще говоря, скорость одномерного возмущения (при отсутствии дисперсии).

Можно дать различные интерпретации не только задаче о волне, бегущей в неограниченной среде, но и всей развитой в этой главе теории отражения от препятствий, прохождения через препятствия и прохождения через границу двух сред. Можно также характеризовать препятствия граничными условиями, налагаемыми на величины, соответствующие давлению и скорости частиц. Тогда при одинаковой форме граничных условий и величины коэффициента отражения, коэффициента прохождения, импеданса и т. д. получатся такие же, как и в предыдущих параграфах, хотя физически все элементы среды будут иными.

Например, для поперечных волн на струне угол наклона можно интерпретировать как сжатие, а поперечную скорость - как скорость частиц; при этом погонная плотность р будет соответствовать объемной плотности среды в задаче о плоских волнах, а натяжение струны - модулю объемной упругости среды. Связывая две полубесконечные струны, придем к задаче, эквивалентной задаче о двух различных полубесконечных средах, граничащих по плоскости. Так как натяжение одинаково в обеих «полуструнах», что отвечает равенству модулей упругости, то квадрат коэффициента преломления равен в данной интерпретации отношению погонных плотностей: = m (плотности второй струны к плотности первой). Коэффициент отражения от границы между струнами с плотностями р и р равен

у m - п р7р-К"р7р К"р7р - 1 + " р7р+Кр7р V7Tp + \

«Свободную границу» для струны можно осуществить, нривя-зывая ее к струне нулевой плотности. Жесткую границу можно осуществить, привязывая струну к неподвижному телу.

С формальной точки зрения все интерпретации вполне равноправны, так как для каждой из них набор уравнений и граничные условия для изучаемых величин одни и те же. Поэтому для каждой интерпретации в соответственных случаях будем всегда приходить к одним и тем же окончательным формулам, в которые останется только подставлять те или иные физические величины, соответственно выбранной интерпретации. Такое единое рассмотрение всех подобных одномерных волновых задач получило название теории длинных линий. Теория длинных линий позволяет рассматривать отражение от препятствий, прохождение через границу двух сред, прохождение волны через «многослойную» систему, когда на пути волны стоят участки различных сред и требуется найти отраженное и прошедшее поле, а также поле внутри каждой из сред. В числе слоев могут быть и сосредоточенные препятствия, например, сосредоточенные массы или упругости.



Все задачи, которые можно решать методами теории длинных линий, относятся к средам, в которых уравнение распространения для величин, соответствующих давлению и скорости частиц, есть волновое уравнение вида

(52р I др

= 0.

Не всякая одномерная волна есть решение именно такого уравнения. Например, поперечные волны на стержне описываются, как мы видели, уравнением четвертого порядка и для него волна вида р {t + zlc) является решением, только если это гармоническая волна, а распространение волн происходит с дисперсией. К таким средам теория длинных линий, конечно, неприменима.

§ 52. Узкая труба и стержень как длинные линии

Применим теорию длинных линий к распространению звука в жидкости или газе, заполняющем узкую *) цилиндрическую трубу с жесткими стенками. Замечательно, что если такую трубу изогнуть, то распространение звука в ней останется таким же, как и в прямой трубе, с той только разницей, что координату придется отсчитывать не по прямой, а по изогнутой оси трубы. Изгибы оси могут быть сколь угодно крутыми, хотя бы даже изломами: волна бежит в такой трубе, не замечая изгибов, так же, как если бы труба была вытянута в прямую линию. Изогнутые узкие трубы широко применяют в медных духовых инструментах. Трубу изгибают только для уменьшения габаритов инструмента, звуки же, издаваемые изогнутой трубой, имеют ту же высоту, как если бы труба была выпрямлена.

Бегущуюволну в такой трубе можно записать в виде р {t + zlc), где в качестве z взята теперь длина дуги осевой линии трубы. Ускорение частиц среды вдоль трубы создается изменением давления вдоль оси трубы. Нормальное же ускорение частиц создается реакцией неподвижных стенок трубы. Волновое уравнение для узкой трубы постоянного сечения (все равно, прямой или изогнутой) имеет тот же вид

др 1

= 0,

Скорость звука в узкой трубе не зависит ни от площади сечения, ни от его формы, и равна скорости звука в неограниченной среде.

При соединении труб разного поперечного сечения получим аналог двух различных граничащих между собою сред. Однако

*) Узкой трубой считаем трубу, поперечник которой много меньше длины волны звука. Особенности распространения волн в широких трубах не позволяют интерпретировать их как длинные линии. Более подробно акустику узких труб рассмотрим в гл. VII, а акустику широких труб - в гл. VIII.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0108