Главная Общая акустика - создание упругих волн



граничное условие оказывается теперь другим. В самом деле, пусть, например, соединены полубесконечные трубы с сечениями q и q, заполненные одной и той же средой, и пусть из трубы с се-, чением q падает волна р [t - zlc). Место соединения труб частично отразит волну и частично ее пропустит. Отраженная волна будет иметь вид р (t + zlc), а прошедшая - вид Жр (t - zlc), где коэффициенты отражения и прохождения найдутся из граничных условий. Очевидно, в непосредственной близости от места соединения труб движение частиц будет несколько отличаться от движения в одномерной волне, однако для достаточно узких труб этот участок много короче длины волны, и этим отличием можно пренебрегать. Граничные условия - это равенство давлений по обе стороны от границы и равенство потоков среды по обе стороны. Эти условия можно записать следующим образом:

1+<г/ = Г, q{\~) = qW

откуда сразу находим

Широкая (по сравнению с первой) вторая труба почти эквивалентна свободной границе. В частности, узкую трубу, открывающуюся в свободную атмосферу, можно считать соединенной с трубой бесконечной ширины и, следовательно, граничащей с вакуумом. Узкая вторая труба соответствует жесткой границе. В обоих случаях во вторую трубу проходит малая доля энергии. При равенстве площадей поперечных сечений отражение отсутствует независимо от формы поперечного сечения. Например, при Т-образном соединении трубы сечения q с трубой сечения ql2 волна, распространяющаяся в более широкой трубе, не отразится от места соединения, а перейдет во вторую трубу, распространяясь в обе стороны от места соединения.

Сравнивая найденные формулы с формулами Френеля для границы двух сред, видим, что вместо погонных плотностей сред qp и qp, которые можно было бы ожидать при данной интерпретации, за плотности следует принять величины р/9 и piq соответственно. Дело в том, что граничное условие в рассмотренном случае другое, чем во френелевой задаче: равны друг другу по обе стороны границы не нормальные скорости частиц, а полные потоки через оба сечения.

На распространение в трубах похоже распространение в узких твердых стержнях. Однако аналогия сохраняется только для прямых стержней. Граничные условия для двух соединенных прямых стержней из одного и того же материала с сечениями q и q, лежащих на одной прямой, - это равенство скоростей частиц по обе стороны от границы и равенство сил взаимодействия. Эти условия можно записать в виде

,у(1+<?/)=: Г, 1-гг = Г,



откуда

в этом случае можно пользоваться формулами (43.6), принимая в качестве плотностей сред погонные плотности стержней pq


Рис. 52.1. Схема соединения труб, приводящая к уравнениям (52.2) для коэффициентов отражения и прохождения.

И pq. Интерпретация свободной границы и жесткой стенки получилась обратной той, что имела место для соединенных труб: второй тонкий стержень похож на границу с вакуумом, а толстый - на абсолютно жесткую границу. Впрочем, если вместо непосредственного соединения труб связать их при помощи безмассового двойного поршня, как показано на рис. 52.1, то граничные условия станут такими же, как и для стержней, и мы придем к тому же соотношению (52.2).

Полученные формулы легко обобщить и на стержни из разных материалов.



ГЛАВА VI

НАКЛОННОЕ ПАДЕНИЕ ПЛОСКИХ ВОЛН

§ 53. Отражение и прохождение плоских волн при наклонном падении. Закон Снеллиуса

При наклонном падении плоской волны на плоское однородное препятствие возникают такие же вопросы об отражении и прохождении, как и при нормальном падении. Но в этом случае задача не одномерная: данная фаза волны подходит к разным точкам препятствия не одновременно - след волны бежит вдоль препятствия. Медленность следа зависит не только от медленности звука в данной среде, но и от угла скольжения 9 падающей волны- угла, составляемого вектором медленности падающей волны 5 с поверхностью препятствия. Поэтому вообще отражение и (если препяктвие - другая среда) прохождение зависят не только от свойств препятствия, но и от этого угла.

Зная медленность волн в данной среде и угол скольжения падающей волны, можно найти вектор медленности отраженной волны, а зная, кроме того, величину медленности во второй среде, можно найти и вектор медленности волны, прошедшей во вторую среду.

В самом деле, для того чтобы на границе препятствия выполнялись граничные условия, необходимо, чтобы медленности следов на препятствии падающей, отраженной и прошедшей волн были равны между собой. Физический смысл этого требования - в том, чтобы следы волн не обгЬняли друг друга. При нарушении этого требования, даже если граничные условия удовлетворены в какой-то момент времени, они нарушатся вследствие «расфази-ровки» следов в другие моменты. Ясно, что требование равенства медленностей следов универсально и должно выполняться для всяких типов плоских волн, падающих на любые плоские однородные препятствия.

Это требование будем называть законом Снеллиуса. Его можно сформулировать еще и по-другому: так как медленность следа волны на плоскости равна проекции вектора медленности волны на эту плоскость, то проекции векторов медленности падающей, отраженной и прошедшей волн на границу препятствия должны совпадать. Значит, если все три вектора медленности отложить



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0278