Главная Общая акустика - создание упругих волн



от какой-либо точки границы, то концы векторов будут лежать на одной нормали к границе (рис. 53.1).

Обозначим через Л единичный вектор нормали к границе, направленный из среды, в которой распространяется падающая волна, в препятствие, и направим ось z по вектору N; ось х выберем в плоскости падения - плоскости, содержащей векторы Л и 5. Очевидно, вектор медленности отраженной волны можно записать в виде

5 = 5-2ЛГ(5ЛГ). (53.1)

У падающей и отраженной волн л;-компоненты векторов медленности равны друг другу и равны 5-N (SN); модуль этой

компоненты равен 5 cos 0; 2-ком-поненты противоположны и равны ±N{SN); модуль этой компоненты равен 5 sin G. Угол 0 между, вектором S и границей называют углом скольжения отраженной волны. Очевидно,

9 = 9. (53.2)

Легко видеть, далее, что вектор медленности во второй среде S равен

S==S-\-N{iS - S)N\. (53.3)

Пользуясь формулой п = S/S = с/с, легко записать вектор медленности прошедшей волны через вектор медленности падающей и коэффициент преломления п:

S =S-~N{SN) + NY{n-l)S.+ {NSf. (53.4)

Но согласно закону Снеллиуса должно быть

5 cos 0 = S cos 9, (53.5)

где 0 - угол скольжения прошедшей волны. Следовательно, cose 1 S с


Рис. 53.1. Расположение векторов медленности падающей, отраженной и прошедшей волн при падении на плоскую границу двух сред г = 0.

cos 0

(53.6)

Отсюда следует, что углы скольжения падающей и прошедшей волн взаимны: соотношение сохранится, если считать вторую среду первой и первую - второй, приняв 9 за угол скольжения падающей волны, а 0 - за угол скольжения прошедшей и положив коэффициент преломления равным S/S = 1/п.

Из (53.6) следует, что при прохождении угол скольжения меньше с той стороны, где медленность меньше: 0 <5 0 при п < 1 и0 > 0 при n > 1. Из (53.6) находим далее

sin 0

COS2 0

(53.7)



При падении на плоскослоистую многослойную среду волна, проходя из слоя в слой, частично проходит и частично отражается, причем на каждой границе выполняется закон Снеллиуса: проекции векторов медленности всех отраженных и проходящих волн на границы слоев равны между собой и равенство

5 cos е = const (53.8)

выполняется для всех этих волн. Это же равенство будет соблюдаться и в пределе, при сколь угодно тонких слоях, когда среду можно представить себе как слоисто-неоднородную с непрерывно изменяющимися характеристиками (см. § 57).

В векторной форме закон Снеллиуса (53.8) можно переписать в виде

[iV[5iV]] = const,

где 5- вектор медленности любой из отраженных или прошедших волн.

Иногда вместо углов скольжения 9, 9 и 9 пользуются углом падения %, углом отражения ~% и углом преломления % - углами между соответственными векторами медленности и нормалью к границе (внешней нормалью Sf для углов % я % п внутренней - .N для угла %). Очевидно,

в + х = е + х = в + х = я/2.

Формулы (53.2) и (53.6) можно записать в виде

~ sin % 7. - 5С> sin X ~~ с

Эти соотношения формулируются в школьном курсе физики как законы Снеллиуса для световых лучей. Первый закон Снеллиуса: угол падения равен углу отражения; второй закон Снеллиуса: синусы углов преломления и падения относятся как скорости света в соответственных средах. На волновом языке мы объединили оба закона в один; применение волновой картины показало универсальность закона Снеллиуса для любого типа волн.

Из всего сказанного следует, что для плоской волны, падающей на однородное плоское препятствие, падающую и отраженную волны всегда можно записать в виде

p = p{t-Sr), p = ~p{t~Sr),

где S определяется формулой (53.1). Форма волны вообще при отражении меняется, т. е. функции р я р различны. Если различие заключается только в постоянном множителе, т. е.

p(t) = q/p{t),

то отражение правильное и Vназывают коэффициентом отражения.



Аналогично, если на границе со второй средой прошедшая волна плоская *), то она должна иметь вид р {t- Sr), где S определяется формулой (53.3) или (53.4). Вообще форма волны при прохождении меняется. Если различие заключается только в постоянном множителе, т. е.

р it) = Jfp (t),

то прохождение правильное и Ж называют коэффициентом прохождения.

В настоящей главе ставится задача отыскания волны р (и р для задачи о границе двух сред) для любого однородного линейного плоского препятствия и при любом виде падающей волны р.

Для идеальных границ выражение для отраженной волны получается элементарно. Как легко проверить, на абсолютно мягкой границе волна

р = р (t - Sr) = р {t - S cos Q-x-S sin Q-z) отражается в виде волны

р = -р {t - Sr) = -pit - Sc.osQ-x + SsinQ-z).

Аналогично отражение на абсолютно жесткой стенке имеет вид р = р - 5г) = р (f - S cos е• л; + S Sin е • г).

§ 54. Отражение и прохождение звука на границе двух сред

Обозначим плотности и медленности звука в первой и второй сред? спответственно через р, р и 5, 5 и рассмотрим падение на границу волны вида

р = р (t - S cos Q-X - S sin 9-г).

Если отражение правильное (условие правильности выясним ниже), то, как уже было сказано, отраженную и прошедшую волны можно записать в виде

р =г/р ( - S cos О • X-f 5 sin 0-2), р=:rp( - Scos0.x - Ssine.z).

Например, для падающей гармонической волны р = ехр {ik cos Q-x + ik sin 0-2)

*) В то время как отражение плоской волны - всегда также плоская волна, прошедшая волна может и не быть плоской волной, а представлять собой супер-позицшо неоднородных волн (см. § 56).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [55] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0254