Главная Общая акустика - создание упругих волн



отраженная и прошедшая волны равны

р = exp(tfecos9-;c-{fesin9-z), р - Ж ехр (ikcosQ-x-t-ik sin 6.г).

В написанных выше формулах величины яЖ - неизвестные пока коэффициенты отражения и прохождения, которые должны быть определены из граничных условий. Углы скольжения 9 и 6 связаны формулами (53.6), (53.7).

Граничные условия - это равенство давлений и нормальных скоростей частиц по обе стороны границы раздела сред. На касательные компоненты скорости никаких ограничений в идеальных средах не накладывается: в решении, которое мы найдем, эти компоненты окажутся различными. Получающийся разрыв касательной компоненты скорости частиц на границе совместим с принятым предположением об идеальности среды, т. е. об отсутствии вязкости. Для реальных жидкостей разрыв сглаживают вязкие волны, описанные нами в § 19. Обычно они мало влияют на картину отражения и прохождения; поэтому мы пока пренебрежем ими, считая жидкость идеальной (см. впрочем ниже § 58).

Так как на границе аргументы функции р одинаковы для всех трех волн, то граничные условия можно записать для волны любой формы в виде

1+ = ЗГ, A£HL§.(i c2/) = :£lai.(54.1)

Первое уравнение совпадает с соответственным уравнением для нормального падения (первое уравнение (43.1)). Это объясняется тем, что давление - скаляр, и поэтому условие, на него налагаемое, не связано с направлением распространения волн. Второе уравнение иное, чем для нормального падения: в него входят нормальные компоненты векторов скорости частиц, которые зависят не только от величины, но и от направления этих векторов.

Решая уравнения (54.1) относительно коэффициентов отражения и прохождения, найдем

аv (P/S sin 9) - (p/S sin 9) 2p/S sind

~ ip/S sin 9) + (p/S sin 9) ip/S sin 9) -f- (p/S sin 9)

(54.2)

или, через волновые сопротивления,

яv (pc/sin 9) - (pc/sin 9) 2pc7sin 9

(pcVsin 9)-{-(pc/sin 9) ~ (pcVsin 9)-j-(pc/sin 9)

54.3)

В отличие от случая нормального падения, коэффициенты оказались зависящими не только от свойств самих сред, но и от угла



скольжения падающей волны. В частности, при одинаковых волновых сопротивлениях обеих сред, но неравных плотностях и скоростях звука в отдельности, коэффициент отражения не равен нулю.

Пользуясь принятыми ранее обозначениями, можем переписать формулы (54.2) в таком виде:

m sin 6 -п sin 6 2m sin 6 ,р..

- msine + nsine ~ msine + nsin0 •

Из ЭТИХ формул можно исключить угол скольжения преломленной волны при помощи (53.7):

от sin 6- t/n" -cos 6 2m sin 6

~~ от sin e + Yn - cos2 e ~ mslne4- l/na -cose

Наконец, деля числитель и знаменатель на sin 0, получим формулы, куда входит только одна тригонометрическая функция:

m+l/n+Cn-l)ctg2e OT + l/n + Cn-1) ctge

(54.6)

Полученные выражения для я Ж - формулы Френеля для наклонного падения.

В различных задачах удобно пользоваться то одним, то другим представлением этих коэффициентов.

Из (54.5) видно, что при п >> 1 отражение и прохождение - правильные при любом угле скольжения падающей волны. При п <С 1 правильность сохраняется только при углах скольжения падающей волны, больших так называемого критического угла скольжения 0„р, определяемого равенством

cos е,р = п. (54.7)

При меньших значениях угла скольжения («закритических» углах) выражения для\i7f теряют смысл (становятся мнимыми). Картина отражения и прохождения при закритических углах более сложна и упрощается только для гармонических волн (см. § 56).

§ 55; Анализ формул Френеля

Проанализируем теперь зависимость коэффициентов отражения и прохождения от характеристик сред и от угла скольжения падающей волны. Из формул (54.6) видно, что оба коэффициента меняются монотонно при изменейии угла скольжения падающей волны. При нормальном падении (0 = п12) снова возвращаемся



к формулам (43.5). Дифференцируя (54.5) по 6, найдем, что при 0 = я/2

dQ " dQ

т. е. коэффициенты отражения и прохождения при нормальном падении имеют экстремальные значения. Из второй формулы (54.6) видно, что этот экстремум при n < 1 - минимум, а при л > 1 - максимум. Коэффициент прохождения не обращается в нуль ни при каком угле скольжения падающей волны, но стремится к нулю при стремлении 9 к нулю («скользящее падение»).

Найдем, при каких условиях обращаетсяв нуль коэффициент отражения, т. е. при каких условиях вся звуковая энергия переходит во вторую среду целиком (при этом граничным условиям удастся удовлетворить не тремя волнами, как обычно, а только двумя: падающей и прошедшей). Раньше всего заметим, что за исключением случая нормального падения равенство волновых сопротивлений не является для полного прохождения ни необходимым, ни достаточным условием: необходима, как сейчас увидим, специальная комбинация значений т, п и Q, чтобы осуществить полное прохождение, и не при любых значениях т я п вообще есть угол полного прохождения. В самом деле, приравнивая нулю первое из выражений (54.6), найдем, что угол скольжения падающей волны должен для этого удовлетворять уравнению

= - (55.1)

Отсюда следует, что коэффициент отражения может обратиться в нуль только при условии

rfi - l

>0, (55.2)

т. е. при выполнении одной из пар соотношений т>п>1, т <п <\.

Согласно первому из уравнений (54.4) при угле скольжения, обращающем коэффициент отражения в нуль, должно выполняться условие m sin 9 = /г sin 8. Комбинируя его с условием (53.6), найдем, что при полном прохождении волны

ctg 9 = m ctg 9.

Определяемые этими соотношениями углы являются взаимными: если полное прохождение возможно из первой среды во вторую, то оно возможно и из второй среды в первую.

1ри угле полного прохождения амплитуда давления прошедшей волны равна, согласно первому уравнению (54.1), амплитуде



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 [56] 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.029