Главная Общая акустика - создание упругих волн



падающей. Это не значит, что при этом угле скольжения амплитуда прошедшей волны больше, чем при других углах: коэффициент прохождения, как и коэффициент отражения, всегда изменяется монотонно и при п < 1 продолжает расти при уменьшении Э, а при п > 1 продолжает убывать.

Из (54.6) видно, чтоприл>1 коэффициент отражения монотонно убывает при уменьшении угла скольжения падающей волны от значения 4/ = (т - п)/{т + п) при 6 = 90° до значения V - = -1 при 6 = 0. в зависимости от того, будет ли m > n или

т>п



Рис. 55.1. Примерный ход зависимости коэффициента отражения от угла скольжения падающей волны при п> 1.

Рис. 55.2. Примерный ход зависимости коэффициента отражения от угла скольжения падающей волны при/г<С1. Заштрихована «закритическая» область углов, в которой отражение неправильное.

m < Л, общий ход коэффициента отражения имеет вид одной или другой из кривых, показанных на рис. 55.1.

При п << коэффициент отражения монотонко растет от значенияZ/ = (m- n)l{m + п) при 9 = 90° до значения = +1 при критическом угле скольжения. При угле скольжения меньше критического формулы Френеля для волны произвольной формы теряют смысл как для коэффициента отражения, так и для коэффициента прохождения: корень У"л- cos 6 делается мнимым. Это значит, что предположение о правильности отражения, из которого мы исходили при выводе этих формул, не оправдывается для закритических углов (Э <9кр). э потому и сами понятия коэффициентов отражения и прохождения оказываются здесь неприменимыми. При угле скольжения, в точности равном критическому, отражение еще остается правильным: угол скольжения прошедшей волны обращается в нуль и она бежит параллельно границе сред. При этом угле коэффициент отражения равен -f 1, как при отражении от абсолютно жесткой стенки (действительно,



нормальные скорости частиц на границе равны при этом нулю), а коэффициент прохождения обращается в 2.

Общий ход коэффициента отражения при п < 1 для случаев т п и т <Сп показан на рис. 55.2.

Для отражения звука на границе воздух-вода критический угол скольжения равен примерно 77°.

Невозможность правильного отражения при закритических углах скольжения ясна из кинематической картины, приводящей к закону Снеллиуса. При критическом угле медленность следа прошедшей волны достигает наибольшего значения: вектор медленности во второй среде параллелен границе (рис. 55.3). При дальнейшем уменьшении угла скольжения проекция медленности падающей волны еще увеличивается, а для прошедшей волны дальнейшее увеличение проекции медленности уже невозможно.

Отметим интересный случай равенства скоростей звука в обеих средах {п =1). Тогда волна переходит во вторую среду, не меняя угла скольжения, а коэффициенты отражения и прохождения оказываются независящими


Рис. 55.3. Расположение векторов медленности падающей, отраженной и прошедшей волн при критическом угле скольжения падающей волны.

2т т-\- 1

угла скольжения:

В качестве примера таких сред укажем на ртуть и воду. Формулы Френеля можно написать и через углы падения to преломления. Например, формулы (54.4) примут вид

а/ m cos X -ясо5 х m cos X + 1 cos х

2т. cos X

т cos х-Ь 1C0S х

Аналогично случаю нормального падения (§ 43) можно найти допплеровский сдвиг частот при отражении и прохождении на движущейся границе и для наклонного падения.

При угле скольжения падающей волны 9 частоты отраженной и прошедшей волн оказываются, как легко видеть, равными соответственно

1 - М sin 6 1 - М sin е

Как и в случае нормального падения, величины коэффициентов отражения и прохождения остаются при этом такими же, как и при неподвижной границе раздела.



Выясним, при каких условиях отражение мало при наклонном падении волны на границу двух сред. Легко видеть, что близости волновых сопротивлений сред, как это было при нормальном падении, в этом случае недостаточно и требуется малое различие как плотностей, так и скоростей звука в отдельности. Если т = = 1 + а и n = 1 + Р, то во всяком случае должно быть а < I и Р С 1. Оказывается, однако, что и этих требований иногда недостаточно. В самом деле, пренебрегая величиной по сравнению с р, можем представить, согласно (54.5), коэффициент отражения в виде

l+a-t/l+2p/sin" \ja-{-Vl+2p/sm2e "

Для того чтобы коэффициент отражения был мал по сравнению с единицей, необходимо, таким образом, чтобы одновременно выполнялись условия а < 1; P/sin 9 < 1- Тогда приближенно

Таким образом, ограничение на изменение коэффициента преломления более жесткое, чем для отношения плотностей, и, кроме того, усиливается по мере уменьшения угла скольжения волны.

§ 56. Отражение гармонических волн и импульса при закритических углах скольжения. Полное отражение

При п <С 1 отражение при закритических углах не может быть правильным, так как компонента вектора медленности вдоль границы не может превосходить самого вектора. Но для гармонических волн этого ограничения нет: мы видели в § 32, что можно взять одну из компонент волнового вектора сколь угодно большой при условии, что вторая компонента чисто мнимая и сумма квадратов компонент по-прежнему равна квадрату волнового числа. Таким образом, для гармонических волн условию Снеллиуса можно удовлетворить при любом угле скольжения падающей волны. При закритических углах нормальная компонента волнового вектора прошедшей волны - мнимое число: прошедшая волна - неоднородная, бегущая вдоль границы и экспоненциально убывающая при удалении от нее.

Полученные выше формулы Френеля можно применять для гармонических волн и при закритических углах скольжения; при этом коэффициенты отражения и прохождения окажутся комплексными.

При закритическом угле скольжения 0 падающей волны прошедшая волна имеет вид

FexpCtfecose-jc -fe VcosO -п-г).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [57] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0134