Главная Общая акустика - создание упругих волн



амплитуды фо. В самом деле, при протекании участка стержня длиной в одну длину волны Я смещение центра тяжести этого участка в направлении оси к равно согласно (7.4)

COS (фо sin ks) ds= -Х cos (фр sin u)du = Я,/о(фо).

Таким образом, ясно, что скорость центра тяжести участка устержня относительно неподвижного профиля (а следовательно, и искомая скорость профиля с) равна

с = и/о(фо). , (7.6)

Здесь /о (Фо) - бесселева функция нулевого порядка от амплитуды угла поворота стержня фц.


Рис. 7.1. Отрезки профиля поперечных смещений неизменных воли с одной и той же скоростью протекания v, но с различными амплитудами угла наклона. Для каждого угла наклона изображен отрезок профиля в одну длину волиы. Участок оси абсцисс между концами витка пропорционален скорости с данной волны относительно неподвижной системы координат.

•Итак, изгибные волны обладают дисперсией: скорость изгибных волн растет с уменьшением длины волны. Такую дисперсию называют аномальной; нормальной дисперсией считается рост скорости вместе с ростом длины волны. Эти термины заимствованы из оптики: обычно в прозрачных средах скорость световых волн растет с длиной волны. •

На рис. 7.1 длина участка оси абсцисс, соответствующего одному витку, отнесенная к длине волны, равна отношению с/v. Скорость с для волн (г) и (ж) равна нулю; скорость для волн (д) и (е) относительно неподвижной системы координат направлена, в отличие от остальных профилей, влево. В системе координат, в которой профили неподвижны, перетекание происходит из нижнего витка в верхний и обратно.



Форма профиля и законы движения точек стержня в декартовых координатах х, у имеют очень сложный и мало наглядный вид. Упрощение получается только для малой амплитуды углов наклона профиля: Фо < 1*). Тогда бесселева функция близка к единице, так что можно считать скорость протекания и скорость профиля относительно неподвижной системы координат равными. Кроме того, при фо < I можно положить s = л; и х = dy/dx (у- поперечное смещение стержня), совершая ошибку, не большую чем фо по сравнению с единицей. Тогда уравнение (7.2) можно записать в виде

- Хо COS kx.

Дважды интегрируя по х, найдем форму неподвижного профиля в декартовых координатах в виде

У= --cosa:,

В неподвижной системе координат волна имеет, следовательно, вид

у = cos{kx~(ot).

где О) и fe связаны уравнением (а = YG/p,

§ 8. Продольные плоские волны в жидкости

В предыдущих двух параграфах мы занимались довольно «экзотическими» типами волн. Теперь перейдем к чаще всего встречающимся продольным волнам, имеющим в акустике наибольшее значение: рассмотрим одномерную волну сжатия в упругой среде. Примерами могут служить плоские волны в неограниченной среде, продольные волны в газе или жидкости, заключенных в цилиндрическую трубу, продольные волны в упругом стержне.

Пусть одномерная волна сжатия бежит в жидкости в положительном направлении оси х. Характеристики этой волны одинаковы во всех точках любой плоскости, перпендикулярной к оси х, а смещения всех частиц параллельны этой оси. Частицей среды в такой волне можно считать участок среды между близкими плоскостями, перпендикулярными к оси х. Взаимодействие частиц сводится к силам давления, действующим по границам между • частицами.

*) Физический смысл этого неравенства-малость длины изгибной волны по сравнению с ее радиусом кривизны. Это условие эквивалентно требованию малости амплитуды линейного отклонения стержня от прямой по сравнению с длиной волны.



в рассматриваемом случае можно мысленно выделить в среде цилиндрическую трубку произвольного (например, единичного) сечения с осью, параллельной оси х, и рассматривать движение среды только внутри такой трубки, считая стенки трубки абсолютно жесткими: наличие такой трубки не нарушило бы движения среды внутри нее.

Как и в предыдущих двух примерах распространения волн, применим метод «остановки движения». В данном случае профиль волны-это график зависимости давления в среде от координаты х. Если существует система координат (л;), относительно которой профиль волны неподвижен, то движение среды относительно такой системы координат установившееся и среда в трубке протекает относительно этой системы в обратном направлении. В тех местах, где возмущение отсутствует, например в сечении В, скорость протекания среды относительно системы {х) равна с и направлена в отрицательную сторону. В местах, где возмущение отлично от нуля, например в сечении А, скорость протекания среды с отлична от с. Если v - скорость частиц относительно неподвижной системы, то с = с - v.

Поскольку движение установившееся, к участку АВ трубки можно применить в системе (х) закойы сохранения вещества и импульса. Согласно закону сохранения вещества при установившемся движении суммарная масса среды, вытекающей из трубки, должна быть равна нулю. Пусть среда втекает в Л и вытекает из В. Обозначим невозмущенную плотность среды через р, а возмущенную- через р = р + бр = р (1 + s); относительное приращение плотности S = бр/р называют акустическим сжатием среды. Закон сохранения вещества запишется в виде

рс - р V = О,

откуда следует «.

v = c - c=ssc = jc. (8.1)

Далее, согласно закону сохранения импульса, для установившегося течения жидкости сумма приращения количества движения среды в рассматриваемом объеме за единицу времени и импульса сил давления, действующих на границы объема, равна нулю. Изменение количества движения создается средой, втекающей в А и вытекающей из В.

Так как вытекает жидкость, несущая отрицательное количество движения, то поток через В дает положительное приращение количества лвяженщ рс, а поток через А дает отрицательное приращение количества движения -рс.

Исходное давление (например, атмосферное давление в воздухе) дает суммарный импульс, равный нулю. Акустическое давление в месте наличия возмущения (в сечении А) дает импульс-р. Таким



0 1 2 3 4 5 [6] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.012