Главная Общая акустика - создание упругих волн



каким-либо фиксированным направлением, не зависящим от угла скольжения падающей волны, то и в этом случае импеданс второй среды нормальный. Так будет, например, если поместить во вторую среду (имеющую произвольную скорость звука) «сотовую конструкцию»-гребенку параллельных абсолютно жестких перегородок, делящих среду на независимые слои (или трубочки), узкие по сравнению с длиной волны в среде. Тем самым будет принудительно задан «угол преломления»-как угол а между нормалью к границе раздела и направлением трубочек. Движение в каждой трубочке будет зависеть только от давления на ее конце. Примерно так ведут себя пористые жесткие штукатурки, встречающиеся в архитектурной акустике: воздух в порах имеет принудительное направление движения, не зависящее от угла падения волны в целом. Легко показать, что для сотовой конструкции с наклоном трубочек к нормали а и коэффициентом скважности в (отношение площади сечений трубочек к общей поверхности препятствия) входной импеданс равен Z = pel {г cos а).

Итак, для нахождения отражения гармонической плоской волны от плоского препятствия достаточно знать его проводимость или входной импеданс. Если падает плоская волна произвольной формы, то можно поступить так же, как и при нахождении отражения при падении на границу двух сред под закритическим углом (см. § 56). Вообще проводимость зависит от частоты: Y =Y (со), так что каждая компонента разложения Фурье отразится со своим коэффициентом отражения. Кроме того, для отрицательных частот значения входной проводимости надо брать сопряженными соответственным значениям для положительных частот. Так, если падающая волна может быть представлена в виде

со - ОО

то отраженную волну можно написать в виде интеграла

sin е/рс) + к (со) "

г (sin е/рс)-к* (со) (t,.),,:,,,., (sin е/рс)-f К* (со)

(sin е/рс)-f К* (w)

при наклонном падении волны, так же как и при нормальном, идеальные границы можно рассматривать как предельные случаи при стремлении проводимости или импеданса границы соответственно к нулю или к бесконечности. Абсолютно мягкая граница соответствует бесконечной проводимости и нулевому импедансу, а абсолютно жесткая - нулевой проводимости и бесконечному цмпедансу. Можно рассматривать эти случаи и как гра-



ницы со средой, характеристики которой стремятся к некоторым предельным значениям. Так, абсолютно мягкая граница получится, если стремить к нулю плотность второй среды либо ско- рость звука в ней (устремляя сжимаемость к бесконечности), что соответствует предельным переходам m -> О либо п->оо. Для получения абсолютно жесткой границы можно стремить плотность второй среды к бесконечности: т -оо. Стремление же скорости звука во второй среде к бесконечности (п -* 0) не приведет при наклонном падении (в отличие от нормального падения) к имитации абсолютно жесткой стенки, потому что при п = О любой угол скольжения, кроме 90°, закритический и отражение неправильное (а во второй среде возникают неоднородные волны).

Обратим внимание на любопытный парадокс, связанный с падением волны под углом скольжения 0° («скользящее падение»). При абсолютно жесткой стенке коэффициент отражения от нее равен +1 при любом 0, даже при 0 -> 0. Но, с другой стороны, при любом конечном значении проводимости границы коэффициент отражения равен -1 при 0 = О и остается равным нулю даже при стремлении проводимости границы к нулю. В первом случае поле в первой среде равно удвоенному падающему полю; во втором случае оно равно нулю.

Разрешение парадокса - в том, что в двух случаях рассматривают разный порядок предельных переходов: стремление угла скольжения к 0° и стремление проводимости границы к нулю. Если раньше перейти к пределу по проводимости, оставаясь при конечном угле скольжения, и лишь потом стремить угол к нулю, то получим первый случай. Если перейти к пределу О = О, а затем стремить проводимость к нулю, получим второй случай. Если бы мы стремили к нулю одновременно и угол скольжения, и проводимость границы, то могли бы получить любое значение коэффициента отражения между -1 и +1, в зависимости от того, к чему стремилась бы величина sin 0/7.

Но интереснее всего то, что для реальных сред парадокс делается беспредметным: акустически абсолютно жесткая стенка не осуществима, как мы сейчас покажем, даже при помощи действительно абсолютно неподвижной границы среды. Мы увидим, что при 0 -> О коэффициент отражения плоской волны от такой границы в реальной среде всегда стремится к -1, а не к +1.

Дело в том, что в реальных средах, в отличие от идеальной жидкости, теплопроводность и вязкость - конечные величины. Поэтому стенку нельзя считать адиабатической границей для среды: граничным условием явится равенство температур среды и стенки, что требует, в отличие от идеальной среды, выравнивания температур между средой и стенкой. Конечная же вязкость приводит к прилипанию частиц к границе; в результате на границе должна обращаться в нуль не только нормальная, но, в отличие от идеальной среды, и касательная компонента скорости частиц. Мы покажем, что такое действие теплопроводности и вязкости



эквивалентно малой, но конечной проводимости границы в идеальной среде, а это приводит к коэффициенту отражения V - -1 при достаточно малых углах скольжения.

Выясним в отдельности действие либо только теплопровод--ности, либо только вязкости. Начнем с действия теплопроводности. Для простоты расчета примем, что температура стенки 2 = О не меняется (бесконечна либо плотность, либо теплопроводность, либо теплоемкость стенки; при отражении звука в газе от твердой стенки или от поверхности жидкости это условие будет выполнено с высокой степенью точности).

Если бы стенка была адиабатична, то изменения температуры среды вблизи нее равнялись бы, согласно (14.4),

ад = ц РадР(г=0).

В силу теплопроводности стенки изменение температуры на границе должно упасть до нуля. Действие стенки в этом отношении равносильно периодическому изменению температуры на границе с той же амплитудой, что и Гд, но противоположного знака. Такое изменение вызовет в среде температурную волну (см. § 19), быстро спадающую при удалении от стенки, и оба изменения температуры - адиабатическое изменение вследствие сжатия среды и температурная волна, вызванная теплопроводностью стенки, - в сумме удовлетворят граничному условию постоянства температуры на стенке. Так как длина температурной волны очень мала по сравнению с длиной звуковой волны, то можно считать, что распределение температур «локально-равномерно» на участках, больших по сравнению с длиной температурной волны, но еще малых по сравнению с длиной звуковой волны. Тогда температурную волну можно записать, в согласии с (25.8), в виде

Т = - 5 РадР(г=0) ехр (-/12 + 12).

Распределение температур в реальной среде вблизи теплопро-водящей стенки отличается на величину Т от распределения при адиабатической границе. В то же время выравниванием температур на расстоянии порядка звуковой волны или изменением давления и адиабатического нагревания при удалении от стенки на расстояние многих глубин прогревания можно пренебрегать.

io изменение температуры соответствует изменению сжатия среды при том же давлении. В соответствии с уравнением состояния (14.3) добавочное сжатие равно

S = - аТ = (V - 1) Р,дР(,=о) ехр (- -f lz).

Интегрируя по 2 в пределах от -оо до О (вследствие быстрого спадания температурной волны фактически интегрирование выполняется в тонком пристеночном слое в несколько глубин про-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 [61] 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0155