Главная Общая акустика - создание упругих волн



условие имеет вид

sin 6 = pcY = т],

(59.1)

где через обозначена относительная проводимость препятствия.

Вся теория волны, удовлетворяющей в одиночку данному граничному условию, заключена в этом уравнении. Проанализируем его для разных свойств поверхности препятствия.

Пусть проводимость - вещественное положительное число. Могут представиться два случая: т] < 1 и т] > 1, что соответствует

неравенствам Z >> рс и Z < рс. В первом случае искомый угол найдется по формуле 9 = агсзГпт]. Это значит, что плоская волна вида

ехр {ik У 1 - цх + ikr\z), падая на заданную поверхность, не отразится от нее и будет целиком поглощена.

Во втором случае 0 = (л/2) - - i argch г]. Это значит, что от -данного препятствия не отразится неоднородная волна вида ехр (-кУц- 1х + ikr\z). Это- волна, бегущая нормально к границе и убывающая экспоненциально вдоль границы. Такому решению, однако, можно придать физический смысл только в том случае, если по условиям задачи область, содержащая х = -оо, исключена.

Перейдем теперь к общему случаю, когда проводимость комплексна, и положим


Рис. 59.1. Неоднородная волна вблизи плоскости с комплексной проводимостью. Стрелки показывают направление бега волны для поглощающей плоскости (г >> 0) и для генерирующей плоскости (/< < 0). Кривые показывают распределение амплитуд вдоль фронтов, изображенных прямыми линиями, а) Плоскость с проводимостью упругого типа £<3 0); б) плоскость с проводимостью массового типа (е>0).

(59.2)

Угол скольжения искомой падающей волны тоже будет в этом случае комплексным:

е = а + tp.

Из (59.1) найдем

sin 9 = sin а ch р -Ь t cos а sh р = г + Ц, (59.3)

откуда

sin а ch р = г, cos а sh р = Исключая из этих выражений sin а и sh р, получим систему sin а + ch р = 1 + г2 + sin а ch р = r



Значит, величины sin* а и ch* р являются решениями уравнения X* - (1 Л-У Л-1"") X + = 0.

Корни этого уравнения даются формулой

из которой видно, что оба решения вещественные положительные. Легко показать, что корень, отвечающий верхнему знаку, всегда больше единицы, а корень, отвечающий нижнему знаку, - меньше единицы. Полагая ch* р равным первому корню, а sin*a-второму корню, найдем после простых переделок следующие вещественные значения для ch р и sin а:

chp = -[/(l + rf+ * +

sin а =



Согласно (59.3) искомая волна имеет вид

р = ехр (ik cos в-jc -f ikrz - kX,z).

в.)

Рис. 59.2. Неоднородная волна, бегущая вдоль плоскости с чисто реактивной проводимостью (г= =0). а) Проводимость упругого типа, б) проводимость массо- вого типа.

Для Г >» О, т. е. для поверхности, поглощающей энергию, а >» 0: след волны на нормали к границе бежит по направлению к границе. При г < О а < О и волна бежит от границы: поверхность генерирует звуковую энергию. Знак величины определяет характер реактивной части проводимости границы: знак плюс означает массовую проводимость, знак минус - упругую.

В первом случае амплитуда нарастает при удалении от поверхности, во втором - убывает (рис. 59.1). При чисто реактивной проводимости препятствия а = О и волна бежит вдоль поверхности («поверхностная волна», рис. 59.2). В этом случае уравнение волны имеет вид

p = exp(tfe/1 + 2 x~kL,z).

Волна оказывается замедленной по сравнению с плоской волной, как и во всех остальных случаях реактивного импеданса. Очевидно, в неограниченном полупространстве поверхностная волна, бегущая



вдоль границы, возможна только при упругой проводимости стенки. В слое возможно существование такой волны и вблизи стенки с массовым импедансом, при условии, что вторая стенка имеет упругий входной импеданс того жемодуля.

В заключение заметим, что условие (59.1) обращения в нуль коэффициента отражения совпадает с условием обращения коэффициента отражения в бесконечность, если за угол скольжения падающей волны взят угол 6=-е. Это равносильно замене в вышеприведенных формулах угла а на угол -а при сохранении угла р неизменным. Разница в этих двух подходах к задаче - чисто формальная. Ведь имеется только одна волна, и безразлично, считать ли, что падающая волна конечна, а отраженная равна нулю или что падающая волна равна нулю, но отраженная конечна, - нужно только соответственно переименовывать волны и изменять углы.

§ 60. Применение теории длинных линий к задачам о наклонном падении волн

Сравним некоторые выражения, относящиеся к отражению и прохождению плоских волн при нормальном и при наклонном падении на границу двух сред и на препятствие, характеризуемое импедансом:

Нормальное падение

Наклонное падение

Падающая волна

p(t-Sz)

Pit -ScosQ-x - S Sin Q-z)

Отраженная волна

4rp{t + Sz)

i/p (i~S cos e. X -f S sin e. г)

Прошедшая волна

Wp(t - Sz)

Wp(t - ScosQ-x - S sin 9 -г)

.Граничные условия на границе двух сред

0 .- SSin 9

Формулы Френеля

(S/p)-(S7p) (S/p) + (S7p)

2S/p

(Ssine/p)-(Ssine7p) ~(Ssin9/p) + (S sin97p) 2S sin e/p

(S/p) + (S/p)

(Ssin9/p)-f(Ssin97p)

Коэффициент отражения от импедансной поверхности

Z-p/S Z + p/S

Z -p/Ssin9 Z+p/S sin9



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [63] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0107