Главная Общая акустика - создание упругих волн



Различие между столбцами можно сформулировать так: в то время как в левом столбце имеется общая зависимость от для всех трех волн, т. е. волновой процесс происходит синфазно по всей плоскости, в правом столбце имеется общая зависимость от комбинации t- S cos Э-л:, т. е. вся картина бежит по оси х (с медленностью S cos 6). Зависимость от координаты z различается только тем, что вместо медленностей S и S звука в правом столбце фигурируют проекции S sin Э и S sin 0 медленностей на ось z. Такая же замена медленностей на их проекции выполнена и в граничных условиях, и в формулах Френеля.

Значит, формально можно вместо задачи о наклонном падении решать задачу о нормальном падении волны на границу фиктивных сред с медленностями S = 5 sin Э и S = S sin Э (а для гармонических волн - с волновыми числами = sin 0 и = sin 0) и с теми же плотностями, что у настоящих сред; при этом получатся правильные значения коэффициентов отражения и прохождения. Если теперь приписать полученной картине движение вдоль оси х с медленностью S cos 0, то получится полная картина отражения и прохождения при наклонном падении. Тем самым решение задачи о наклонном падении свелось к решению задачи о нормальном падении. Фиктивные медленности будут зависеть от угла скольжения падающей волны. Волновые сопротивления фиктивных сред станут равны pc/sin 0 и pc/sin 0. Коэффициент преломления нужно брать равным

- п sin 6 - cos" е

S sin е sin е

Отношение т плотностей останется неизменным. Хотя вводимые таким образом среды фиктивны, соответственные волновые сопротивления вполне реальны: величины pc/sin 0 и pc/sin 0 действительно равны отношениям давления к нормальной скорости на границе для падающей и для прошедшей врлн. Поэтому, вводя обозначения

Z = pc/sin 9, Z = pc/sin 0, = Z/Z,

получим формулы Френеля в том же виде, что и для нормального падения:

Аналогично можно решать и другие задачи о наклонном падении. Например, отражение от препятствия в виде сосредоточенной массы найдем по формулам для нормального падения, заменяя медленность звука в среде на ее проекцию S sin 0. Коэффициент отражения окажется, в соответствии с формулой (46.4), равным

£ -гсо{г - pc/sin 6

-шг + pc/sin е



По такому же рецепту можно решать и задачу о прохождении звука через слой, через последовательность слоев и т. п. Все задачи о падении плоской волны на любую «многослойную» среду можно решать при помощи уравнений, полученных для нормального падения, выполняя соответственные замены медленностей звука в каждом слое на соответственную проекцию медленности. Этим способом вся теория длинных линий переносится на случай наклонного падения.

Есть все же одна особенность наклонного падения, не имеющая аналогии в теории длинных линий: это падение на границу двух сред под закритическим углом падения; отражение при этом перестает быть правильным. Поэтому для волн произвольной формы этот случай нужно исключить. Но для гармонических волн по-прежнему можно пользоваться формулами теории длинных линий, имея только в виду, что для закритических углов придется пользоваться комплексными углами преломления или, что то же, вводить мнимую компоненту медленности по оси z или мнимую компоненту волнового вектора. Такой случай в одцомерной задаче (при нормальном падении) встретиться не может.

Применим сказанное для нахождения отражения и прохождения через слой гармонической плоской волны при наклонном падении. Для этого в формулах (49.15) для нормального падения заменим п на j/n* - cos* 9/sin 0 и на sin 0:

•. luu лг-i--/ - cos2 ё m Sin e \

I tg \Ш \ r? - cos 6) I---- I

\ m sin e V~ cos e /

о •. 5---( - COS* e , m sin 6 \

2 -«tg К - cos* e) I--- -

\ от sin e Yt - cos2 e /

2/cos {kh Vn? - cos e)

2 tg {kh tn-cose) (+ --

\ m sin e Yn - a

Vn - cos e /

Отсюда получается, в частности, условие полного прохождения звука через слой:

Это условие равносильно следующему:

kh sin 00 = /я,

где 0- волновое число в веществе слоя, а 6о- угол скольжения прошедшей волны в слое. Это значит, что на толщине слоя укладывается целое число полуволн следа волны на оси z в сло. Таким образом, пластина может служить монохроматором для случая наклонного падения, причем одна и та же пластина будет пропускать при разных углах падения волны разной частоты. С другой стороны (и этому нет аналогии для нормального падения волны на слой), пластина может служить монохроматором и для волн



одной и той же частоты, но идущих с разными углами падения: полностью будет пропускаться только одно направление падения. Как и для нормального падения, монохроматизация будет тем более острой, чем больше различие свойств среды и слоя. В примере, приведенном в § 49, отклонение направления падения волны от нормального на 10 уже приведет к отражению половины энергии, а на 30 - к отражению 99% падающей энергии. При косом падении на пропускающий слой избирательность будет еще гораздо больше.

При закритических углах скольжения полного прохождения не произойдет. В самом деле, в этом случае аргумент тангенса станет мнимым, а тангенс от мнимого аргумента (гиперболический тангенс) никогда в нуль не обращается (кроме неинтересного случая нулевой толщины слоя). Выражения для коэффициентов отражения и прохождения выразятся при закритических углах скольжения формулами -

! Vcos2 е -

- ith(*Al/cos2e-«2)

т sin 6

т sin 6

2--ith(*AiAcos"e-n2)

lcose-«2 msinO

m sin 6

2/cii [kh YCOS" e - n")

2+i til (M/cos" 6-n")

Vcos 9- m sin 9

m sin 9

Ycos- 9 - n"

Ни V, ни Ж никогда не обращаются в нуль. Коэффициент прохождения убывает с увеличением толщины слоя экспоненциально. Особый интерес представляет падение в точности под критическим углом. Тогда формулы принимают вид

°1/ =

imkh Y-n" 2 - imkh Yl -n

2 - imkh Yl-n

При увеличении толщины пластины амплитуда прошедшей волны убывает в этом случае не экспоненциально, а медленнеес при больших значениях kh коэффициент прохождения убывает как l/kh.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [64] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0064