Главная Общая акустика - создание упругих волн



ГЛАВА VII

ВОЛНЫ в УЗКИХ ТРУБАХ

§ 61. Узкие трубы

Цилиндрическую трубу с абсолютно жесткими стенками можно , рассматривать как длинную линию, поскольку вдоль такой трубы может бежать одномерная волна любого профиля. В широких трубах могут распространяться также и неодномерные волны, но если труба достаточно узкая, распространение других волн невозможно: всякое неодномерное возмущение быстро затухает вдоль трубы. Термин узкая труба имеет относительный смысл: в гл. VIII мы покажем, что для звука с длиной волны Я, труба прямоугольного сечения со стороной L будет «узкой» при L < Я/2, а круглая труба радиуса с будет «узкой» при с <0,61Я.

Если труба «очень» узкая, т. е. L < К/2 или а С 0,61Я, то, как мы уже упоминали в § 52, распространение волны в ней не зависит от того, прямая ее ось или изогнутая или даже имеет изломы: во всех случаях давление и скорость частиц, оставаясь практически постоянными по всему сечению трубы, зависят только от одной координаты - расстояния, отсчитываемого вдоль оси трубы. Скорость волн, отсчитываемая вдоль оси трубы с жесткими стенками, всегда равна скорости звука в неограниченной среде *).

Если труба не узкая, то считать ее длинной линией можно, только если труба прямая и только для плоской волны, бегущей вдоль оси трубы; в такой трубе возможны, однако, и волны других типов.

В этой главе будем заниматься главным образом стаячими волнами в отрезках узких труб, закрытых крышками.

§ 62. Гармонические волны в узкой трубе

Хотя в данной главе мы будем изучать стоячие волны, сделаем предварительно несколько замечаний о распространении звука в неограниченных узких трубах. В таких трубах могут распространяться гармонические волны любой частоты. Самый общий вид

*) В случаях изломов трубы и вообще крутого изгибания трубы появляется и отраженная волна, однако при поперечнике трубы, малом по сравнеииюсдлиной волны, амплитуда отражения очень мала.



гармонической волны данной частоты со можно записать, например, в одном из следующих видов (множитель е-®, ik обычно, опускаем):

р = Ле**-j-5е-Ч (62.1)

р = Л cos Ь; -f 5 sin kx, (62.2)

р = Л cos [kx - а). (62.3)

Любую из этих трех формул можно получить из любой другой соответственным подбором коэффициентов (вообще говоря, комплексных), и любая из этих формул может изображать как бегущую, так и стоячую волну, а также квазистоячую волну с любой степенью бегучести. Так, бегущую волну е** можно получить из формулы (62.1), если положить в ней Л = 1, 5 = О, из формулы (62.2), если положить в ней Л = 1, 5 = t, и из формулы (62.3), если положить в ней Л = sec а и устремить а к too.

В каждое из выражений (62.1), (62.2) и (62.3) входят четыре произвольные постоянные: вещественные и мнимые части величин Л и 5 или Л и а.

Фазу комплексной амплитуды бегущей волны можно изменить как угодно, как переносом начала отсчета времени, так и переносом начала отсчета координат; для бегущей волны таким подбором начала отсчета всегда можно получить, например, вещественную амплитуду. Для стоячей волны переносить начало отсчета координат нельзя, не меняя формы записи (например, при смещении начала координат на четверть волны функция cos kx переходит в sin kx): начало отсчета определено с точностью до целого кратного длины волны.

Обычно запись (62.1) (при В = О или Л = 0) применяют для бегущих волн, а запись (62.2) и (62.3) - для стоячих волн, хотя, как указано выше, можно, пользуясь комплексными постоянными, переходить от одной формулы к другой. Но при выборе вещественных значений амплитуд и фаз термин «стоячая волна» по отношению к записи (62.2) или (62.3) или термин «бегущая волна» по отношению к записи (62.1) имеют обычный смысл. В дальнейшем будем считать, что амплитуды и фазы вещественны.

Любую гармоническую волну в трубе можно представить в виде суперпозиции стоячей и бегущей волны. Действительно, (62.1) при любых А и В можно записать в виде

Aeikx 2В cos fee + (Л - 5) е**.

В этой записи волна представлена в виде суперпозиции стоячей волны и волны, бегущей в положительном направлении. Это не значит, однако, что энергия в волне также переносится в положительном направлении. В самом деле, ту же волну можно представить как суперпозицию стоячей волны и волны, бегущей в отрицательном направлении:

Ае"" -f Be-" = 2Л cos kx + {B - А) g-**.



Таким образом, разбиение данной волны на стоячую и бегущую неоднозначно. Парадокса с направлением переноса энергии нет, так как потоки энергии в данном случае не аддитивны: мы видели в § 39, что аддитивность имеет место только для бегущих волн. Перенос энергии (в той степени, в которой о нем можно говорить для гармонических волн) будет происходить в.ту сторону, для которой модуль амплитуды А или В больше.

§ 63. Ограниченные трубы. Собственные колебания в ограниченных трубах

В узкой неограниченной трубе, как и в неограниченной среде, могут существовать свободные гармонические волны любой частоты, как бегущие, так и стоячие. Иначе обстоит дело с волнами в конечном отрезке трубы, закрытом крышками, через которые звук не проходит. В таком отрезке трубы возможны только стоячие волны, и притом только определенных дискретных частот. Эти стоячие волны называют собственными колебаниями трубы. Основная задача о звуке в отрезке трубы заключается в нахождении этих дискретных частот собственных колебаний.

Начнем с простейшего случая труб, закрытых абсолютно жесткими или абсолютно мягкими крышками. Конечно, осуществление таких крышек возможно только с некоторой степенью точности: практически крышка может быть только достаточно жесткой или достаточно мягкой, в том смысле, что дальнейшее увеличение сте-. пени жесткости или податливости крышки уже не меняет заметно искомые частоты стоячих волн. Для труб, заполненных газом, осуществление достаточно жестких крышек труда не представляет. Для жидкости крышка из твердого материала будет достаточно жесткой только при достаточной ее толщине; заметим, что при заполнении трубы жидкостью возникает также и вопрос о достаточной степени жесткости боковых стенок (см. ниже, § 68).

Абсолютно мягкой «крышкой» явится, конечно, граница, с вакуумом. Но такая граница неосуществима для газов. Почти абсолютно мягкая «крышка» узкой трубы осуществляется гораздо проще - открыванием конца трубы: практически давление (звуковое, а не атмосферное!) у открытого конца трубы равно нулю (расталкивать частицы среды в стороны в неограниченной среде легче, чем продвигать в одном направлении столб среды длиной порядка длины волны)., Все же давление у открытого конца не в точности равно нулю. Мы еще вернемся к этому вопросу при расчете излучения звука открытым концом трубы.

Итак, обратимся к расчету частот гармонических колебаний, возможных в ограниченной трубе. Начнем со случая идеальных крышек. На абсолютно жестких крышках скорости частиц обращаются в нуль. Поэтому на крышках должны оказаться пучности давления, и, следовательно, на длине трубы уложится целое число полуволн. Отсюда следует, что для волновых чисел при



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [65] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0099