Главная Общая акустика - создание упругих волн



собственных колебаниях должно удовлетворяться уравнение

kL = In, (63. l)

где L - длина трубы и / = 1, 2, 3, . . . Каждому значению I соответствует значение ki = In/L волнового числа стоячей волны, возможной в данной трубе; никаких других гармонических волн в трубе быть не может. Этот набор волн образует полную систему гармонических волн в трубе с жесткими крышками. Давление в волне номера / распределено вдоль трубы по закону

p, = cos4. (63.2)

Распределение скоростей частиц дается формулой

= (63.3)

На рис. 63.1 показаны распределения амплитуд давления и скорости частиц для трех первых номеров колебаний.

Частоты собственных колебаний составляют арифметическую прогрессию:

щ = -. (63.4)



Рис. 63.1. Распределение амплитуд давлений и скоростей частиц в первых трех собственных колебаниях в трубе с обеими жесткими крышками.

Собственное колебание наименьшей частоты называют основным тоном, колебания высших частот - обертонами. В трубе с жесткими крышками частоты обертонов относятся к частоте основного тона как целые числа; такие обертоны называют гармоническими.

Отметим весьма важное свойство так называемой ортогональности собственных колебаний: t

2 L

PuPh х = \

При при

/1 = 4, к + к.

Из свойств ортогональности и полноты набора собственных колебаний в трубе следует, что любое свободное колебание в трубе можно однозначно представить как суперпозицию собственных колебаний, взятых с теми или иными амплитудами (см. § 66).

Аналогично найдем свободные колебания и в трубе с абсолютно мягкими крышками: на крышках должны лежать узлы давления, а следовательно, вдоль трубы снова должно укладываться целое число полуволн. Соответственное условие снова имеет вид (63.1). Распределения давлений и скоростей в трубе с открытыми концами имеют вид

ft = sm-,, /=ic«s--. (63.5)




Распределение амплитуд давлений и скоростей частиц - такое же, как распределение амплитуд скоростей и давлений соответственно в трубе с жесткими крышками. Частоты собственных колебаний оказываются такими же, как и в трубе той же длины с жесткими крышками. Обертоны открытой трубы также гармонические. Выполняется также условие ортогональности всех собственных колебаний, и они образуют полную систему функций; других гармонических колебаний в трубе быть не может.

В трубе с одной абсолютно жесткой и другой абсолютно мягкой крышкой на первой из них должна оказаться пучность, а на второй - узел давлений. Поэтому на длине трубы должно укладываться нечетное число четвертей длин волн. Это дает следующее условие для волнового числа:

kL=!-=n. (63.6)

Давления и скорости последовательных волн выразятся формулами

- 2/- 1

Рис. 65.2. То же, что на рис. 63.1. P ~ 2L „.

для трубы с одаой жесткой и вто- (оо./)

рой мягкой:крышкой. --1 S 21 ~i

~ ipc 2L

Формы первых трех колебаний показаны на рис. 63.2. Частоты последовательных волн оавны

а)/ = яс. (63.8)

Органные трубы делают двух типов: открытые с обоих концов («открытые трубы») и открытые с одного и жестко закрытые с другого конца («закрытые трубы»). Открытый конец равносилен абсолютно мягкой крышке. Поэтому при игре на органе в «открытых» трубах возбуждается весь набор гармонических обертонов основного тона, а в «закрытых» - только нечетные обертоны. Это приводит к характерному различию тембров этих двух типов труб.

§ 64. Труба, ограниченная крышками с конечной проводимостью

Дискретный набор обертонов получается и для любых неидеальных звуконепроницаемых (т. е. полностью отражающих) крышек трубы, но, вообще, обертоны в этом случае негармонические. Охарактеризуем крышки трубы входными проводимостями. Для звуко-



непроницаемых крышек проводимости должны быть чисто мнимыми; вообще говоря, они могут зависеть от частоты. Обозначим проводимость первой крышки через Yq и возьмем на этой крышке начало координат. Проводимость второй крышки, имеющей координату x = L, обозначим через Yl- Граничные условия для давления и скорости каждого из собственных колебаний трубы имеют вид

v/p = -Уо при x = 0; vIp = Yl при х = L.

Знак минус в первой формуле указывает на то, что направление «входа» в первую крышку противоположно положительному направлению оси x. Искомые решения можно записать в виде р = - cos {kx - а). Тогда

v = - -s\n{kx - a) и = --tg(b-a).

Подставляя в граничные условия, получим

tg а = -ipcFo", tg {kL - а)-= -фсУ. Эти уравнения можно записать по другому:

а = -arctg (фсУо). kL - а = -arctg {ipcYj).

Согласно сказанному выше аргументы в правых частях равенств вещественны *). Складывая эти уравнения, найдем

= = - arctg (ipcKo) - arctg (/рсУ).

Это есть частотное уравнение колебаний в трубе с заданными проводимостями крышек.

В силу многозначности обратных тригонометрических функций удобно сделать приведение углов к первой четверти. Тогда частотное уравнение можно записать в виде

-arctg (фсУо) - arctg (ipcyj = kL - Ы, (64.1)

где оба арктангенса по модулю меньше я/2, а / принимает значения О, 1, 2, ... Каждому значению / соответствует обертон трубы. Частотное уравнение можно рассматривать и как уравнение относительно частоты со собственных колебаний, и как уравнение относительно величины kL, которая пропорциональна этой частоте. Величина kL/2n есть число длин волн, укладывающихся на длине трубы.

К уравнению (64.1) можно прийти и по-другому исходя из представления собственных колебаний в трубе в виде суперпозиции двух плоских волн, бегущих в противоположных направлениях и переходящих друг в друга при отражениях от крышек. Получим

*) Заметим, однако, что те же уравнения, мы получили бы и при проводимо-стях не чисто мнимых, а имеющих и вещественную часть. Эти случаи рассмотрим. в следующем параграфе.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [66] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0134