Главная Общая акустика - создание упругих волн



частотное уравнение, исходя непосредственно из коэффициентов отражения крышек. Пусть коэффициенты отражения крышек при падении на нихгармоническойволныравны,г/оИ2/£Соответственно. Эти коэффициенты могут быть функциями частоты. Пусть в трубе, закрытой такими крышками, происходят собственные колебания частоты (пока неизвестной) ю. Поле в трубе можно написать в виде суперпозиции двух волн:

взаимно переходящих друг в друга при отражении от крышек. У крышки X = О падающая волна есть Ае~"", а отраженная волна есть е**. Следовательно, у этого конца трубы должно выполняться равенство 1 =AWo. На втором конце трубы падает волна е** и отражается волна Ae". Следовательно, должно выполняться равенство <г7е* = Ле-*. Исключая А из полученных равенств, найдем искомое частотное уравнение

V(fLe" = l. (64.2)

В этом уравнении частота входит как в к, так и в коэффициенты отражения. От этого уравнения легко вернуться к частотному уравнению, содержащему проводимости. В самом деле, согласно (45.2) коэффициенты отражения выражаются через проводимости крышек Fo и У/, формулами

аг 1 -PcYp аг 1 - PcL 0 I+PcKo 1 H-PcKl

"VyUoX ехр [2i arctg (фсУо)].

= ехр [2t arctg (ipcK J].

Подставляя эти выражения в (64.2) и считая IZol IlI = 1 (полное отражение), найдем

ехр \2ikL -Ь 2iarct5 (фсУо) + 2t arctg (фсУх,) 1 = 1.

Отсюда видно, что показатель.экспоненты должен быть целым кратным 2л1. Следовательно,

kL + arctg (фсУо) -Ь arctg (ipcYj) = Ы,

что совпадает с формулой (64.1), полученной другим способом.

Рассмотрим, как меняются собственные частоты трубы при замене идеальных границ крышками с конечной проводимостью. Так как проводимости обеих крышек входят в частотное уравнение одинаково, то достаточно выяснить характер изменений при замене только одной из них. Поэтому будем считать, что одна граница (например, левая) абсолютно жесткая, т. е. Уо = О,

2т .



и допустим, что вторая крышка имеет проводимость Yl. Тогда частотное уравнение (64.1) примет вид

tgkL= -ipcYi. (64.3)

Для реактивных крышек величина iFf. вещественная, положительная для крышек упругого типа и отрицательная для крышек массового типа. Значит, крышка упругого типа понижает, а крышка массового типа повышает собственные частоты трубы. Относительное изменение частоты составляет для колебания номера /

4=-arctg(/pcrj, (64.4)

где со о - собственная частота данного колебания при второй жесткой крышке, а значение проводимости (вообще зависящей от частоты) должно быть взято при уже измененной собственной частоте соо -f Асо, а не при частоте соц.

На рис. 64.1 даны распределения скорости измененного собственного колебания трубы с левой жесткой крышкой и правой упругой и массовой. В трубах с неидеальными крышками узел скорости смещен от крышки: длина волны изменилась соответственно изменению собственной частоты колебания. Отрезок от узла до узла скорости равен длине трубы, снабженной обеими жесткими крышками, имеющей ту же собственную частоту, что и данная труба с неидеальной крышкой. Эта эквивалентная длина больше фактической длины трубы при упругой крышке и меньше при массовой. Относительная разность фактической и эквивалентной длин равна

AL Дй) 1 . /• 1г ч

Пусть крышка осуществлена в виде безмассового поршня, удерживаемого пружинкой с коэ(х})ициентом упругости (на единицу площади трубы), равным х. Тогда lY == со/х, и уравнение (64.3) примет вид

На рис. 64.2 показано, как решать графически это трансцендентное уравнение для kL. Значения kL для последовательных собственных колебаний найдутся как абсциссы точек пересечения последовательных ветвей тангенсоиды tg kL с прямой, угловой коэффициент которой равен взятому с обратным знаком отношению двух коэ(х})ициентов упругости: коэффициента упругости pc/L-столба среды единичного сечения длины L и удельного коэ({к})и-циента упругости х крышки.

Из графика видно, что обертоны не" гармоничны: нарушение гармоничности наибольшее для первых номеров колебаний; при увеличении номера колебания последовательность частот стремится



к последовательности нечетных целых чисел, соответствующих трубе с открытым вторым концом. Это понятно из того, что проводимость упругой крышки стремится к бесконечности при стремлении частоты к бесконечности.

Если крышка осуществлена в виде массивного поршня с поверхностной плотностью fx, скользящего в трубе без трения, то проводимость крышки равна -и уравнение частот можно написать в виде

позволяющем удобно решатьего графически (рис. 64.3): значения kL для собственных колебаний трубы найдутся как абсциссы точек


Рис. 64.1. Li и Lz-эквивалентные длины труб с обеими жесткими крышками, имеющих те же частоты перюго собственного колебания, что и труба длины L с одной жесткой и второй массовой (а) или упругой (б) крышкой.

Рнс. 64.2. Нахождение собственных частот в трубе с одной жесткой н второй упругой крышкой.

пересечения ветвей котангенсоиды с прямой, угловой коэффициент которой равен отношению массы поршня к массе всей среды в трубе.

Интересен случай крышки, очень массивной по сравнению с массой среды в трубе: р > pL. Тогда, как видно на графике, первое значение для kL (пересечение с пунктирной линией) может быть очень мало по сравнению с единицей, а значит, частота этого колебания низкая, так что на длине трубы укладывается малая доля длины волны. Остальные же колебания почти не изменят своих частот по сравнению со случаем абсолютно жесткой второй крышки, и практически можно считать, что они по-прежнему будут образовывать гармонический ряд обертонов. В подобном низкочастотном колебании среда в трубе находится в квазистатическом режиме и действует как пружина.

Перейдем к общему случаю, считая, что задана частотная зависимость (или зависимость от kL) проводимостей обеих крышек, и дадим графический метод нахождения собственных частот трубы на основе уравнения (64.1). Начертим график зависимости величины у=-arctg (ipcFo)-arctg {ipcYj) от kL, выбирая значения арктангенсов в пределах (-л;/2, --л;/2), и нанесем на него семей-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0121