Главная Общая акустика - создание упругих волн




Рис. 64.3. Нахождение собственных частот в трубе с одной жесткой и второй массовой крышкой. При большой массе крышки первое колебание получается низкочастотным (длина соответственной волны много больше длины трубы) и выпадает из ряда остальных собственных частот, близких к гармонической последовательности.

ство прямых у = kL - 1л. Абсциссы точек пересечения графика с прямыми семейства дадут все искомые значения для kL (рис. 64.4). Каждая из прямых семейства даст по крайней мере одно решение, кроме, быть может, прямой с / = 0.

Для обеих абсолютно жестких крышек график вырождается в прямую, совпадающую с осью абсцисс. Для обоих свободных концов трубы график вырождается в прямую 4-я или -я. Для одного абсолютно жесткого и другого открытого конца трубы график совпадает с прямой -\-Til2 или -я/2.

При малых, но не равных нулю проводимостях возможно появление нового типа колебания, отсутствующего при жестких крышках. В самом деле, если обе крышки массового типа или одна массового, а другая упругого, но по модулю проводимость последней меньше модуля проводимости массовой крышки, то, как видно из (64.1), график начнется выше оси абсцисс

(линия а на рис. 64.4) и появится решение, отсутствовавшее при нулевой проводимости крышек: низкочастотное колебание, определяемое пересечением графика с прямой, соответствующей /=0.

Частоты же остальных коле-4 баний будут близки к частотам в трубе с абсолютно жесткими крышками, т. е. практически будут по-прежнему образовывать гармонический ряд. Частота нового колебания в этот ряд не войдет и может быть много меньше основного тона гармонического ряда. Для случая Уо=0 и второй крышки массового типа мы находили уже это колебание на графике 64.3 как колебание наименьшей частоты.

Если обе крышки с малой проводимостью упругого типа, либо модуль проводимости крышки упругого типа больше модуля проводимости крышки массового типа, то дополнительного низкочастотного колебания нет и собственные колебания трубы укладываются (приближенно) в гармонический ряд.


Рис. 64.4. График для нахождения соб-, ственных частот в трубе с обеими неидеальными крышками. Линии а и б - графики левой части уравнения (64.1) в случае, когда имеется низкочастотное собственное колебание.



Аналогично вышесказанному, если проводимости крышек очень велики, но не бесконечны, то также возможно появление дополнительного низкочастотного колебания, отсутствующего при абсолютно мягких крышках: колебание появится, если обе крышки упругие либо если они разных типов, но проводимость массовой крышки по модулю меньше проводимости крышки упругого типа. В этих случаях график проходит при малых kL вблизи прямой -л • (рис. 64.4, линия б) и дополнительное колебание соответствует пересечению с прямой, отвечающей Z = 1. При другой комбинации проводимостей крышек дополнительное колебание не появляется. В отличие от остальных, при дополнительном колебании по длине трубы укладывается только малая доля длины волны, так что распределение давлений и скоростей частиц в этом колебании оказывается совсем другим, чем для остальных собственных колебаний трубы: движение среды происходит квазистатически.

При малых проводимостях столб среды в трубе играл роль пружины: кинетическая энергия его мала по сравнению с потенциальной и его можно рассматривать как пружину с коэффициентом упругости (рассчитанным на единицу площади поперечного сечения трубы), равным pcVL. При больших проводимостях, наоборот, столб среды практически не сжат - потенциальной энергией его можно пренебречь по сравнению с кинетической и он движется как твердое тело. В первом случаетрубу с крышками можно рассматривать как осциллятор со столбом среды в качестве элемента упругости, а во втором случае - тоже как осциллятор, но столб среды ведет себя в этом случае как элемент массы.

Колебания «нулевого номера» интересны тем, что длина волны соответственной частоты в неограниченной среде много больше размеров самой трубы. Для всех остальных собственных колебаний самая низкая частота дает длину волны в неограниченной среде порядка двойного или четверного размера трубы. Вообще, за исключением особых случаев, вроде рассмотренных выше, всегда можно считать, что длина волны наименьшей собственной частоты данного объема (не обязательно трубы, а, например, помещения) равна по порядку наибольшему линейному размеру объема.

§ 65, Крышки с потерями

Предположим теперь, что крышка трубы частично поглощает падающую на нее энергию, так что колебания в трубе постепенно затухают. Затухающее колебание можно представить как колебание с комплексной частотой, мнимая часть которой отрицательна. Поглощайщая крышка характеризуется комплексной проводимостью У = /Х + R, причем должно быть R > 0. Рассмотрим трубу, у которой одна крышка абсолютно жесткая, а вторая - поглощающая. Для такой трубы частотное уравнение (64.3) примет вид

tg feL = pcX - ipcR. (65.1)



Из этого уравнения можно найти вещественную и мнимую части kL, а значит, и вещественную и мнимую части со. В общем случае уравнение (65.1) придется решать численно, но если наличие поглощения вносит лишь малую поправку в величину со, то уравнение можно решить и аналитически.

В самом деле, пусть решение частотного уравнения в отсутствие поглощения есть kL, так что tg kL = qcX. Положим kL = kL -f -- la -f P и будем считать ia -f p С 1. Разлагая в (65.1) тангенс в ряд и ограничиваясь первыми тремя членами разложения, найдем

tg koL + (ia + Р) (\+ig\koL)+(ia+ Р) tg kL (1 Н- tg kL) =

== pcX - ipc;?. (65.2)

Разделяя вещественную и мнимую части, видим, что вещественная поправка - величина второго порядка малости по отношению к мнимой поправке. ,

Ограничиваясь членами не выше второго порядка малости относительно а, найдем

а= - pcR

(65.3)

Р - а tg ftoL [l(p;f)2p •

Разложением (65.2) можно пользоваться, если третий член много меньше второго по модулю, т. е. при условии

Если рс Х >, 1 (реактивная проводимость крышки имеет порядок величины волновой проводимости среды или превосходит ее), то условие будетвыполнено только при R < Х]. Формулы (65.3) можно переписать в виде

R рсХ R tgfepL L,,]uObT

--IT I + ipcXf X T+lkjr 2 X "оь,

f. R {pcXf R tgafepL P XM1 -b ipcXW X (1 + tg koL)*

= 1 (-i- Sin 2feoL - 4- Sin ikoL) .

Значит,

г, . R sin 2feoL , Ri ( sin2feoL I sin 4feoZ. y W-Oo jl -t-j 2/feeL l\~~Tk 2" kL Л*



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [68] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0116