Главная Общая акустика - создание упругих волн



в первом приближении по малой величине R/X частот коле- бания не меняется и действие поглощения на крышках сводится только к затуханию колебаний. С этой точностью собственное колебание трубы можно записать в виде

p = exp{-.W .-i,4x

X (cos kox-ri- аУ sin kox). (65.4)

Частота колебаний изменяется только во втором порядке: при упругих крышках появление поглощения уменьшает частоту, при массовых- увеличивает.

При чисто активной проводимости второй крышки уравнение (64.3) напишем в виде

kL = In - arctg (ipcR).

При pcR < 1 имеем arctg (ipcR) = i argth (pcR), так что

kL = ln - i argth {pcR), (65.5)

T. e. вещественная часть частоты в точности равна частоте колебаний в трубе с абсолютно жесткой второй крышкой, а коэффициент затухания равен {(n/ln) argth (рс/?). При малой относительной проводимости {pcR С1); это дает kL tn - ipcR, а поле в трубе приближенно равно

р ехр - --fr" 4 • (cos JC + ipcR - sin- jc) .

При pcR > 1 имеем arctg1(ipc/?) = + i Sh-, так что = я-t argth(65.6)

T. e. вещественная часть частоты в точности равна частоте колебаний в- трубе с одной жесткой и второй мягкой крышкой, а коэффициент затухания равен ц2г -"l)/2] я pcR " большой относительной проводимости {pcR > 1) это даег

kL =-р;- п

2 "~ pcR

а поле в трубе принимает вид

р = ехр {- - [(2/-Г)/2]пр4



При pcR = 1 из частотного уравнения получаем kL = In - - ioo, что соответствует бегущей волне. Однако из условия на первой крышке следует, что амплитуда волны должна равняться нулю: искомое решение в данном случае - тождественный нуль.

Важный случай комплексной проводимости крышки - это открытый конец трубы. До сих пор мы считали, что проводимость открытого конца бесконечна. Это не точно: проводимость велика, но имеет конечное значение. В самом деле, на открытом конце лежит пучностьскорости. Значит, при колебаниях через открытый конец попеременно втекает и вытекает поток среды; открытый конец можно рассматривать как некоторый излучатель звука. Поэтому через открытый конец излучается энергия из трубы в окружающую среду. Но в этом случае на открытом конце трубы должна совершаться работа, следовательно, давление р на открытом конце должно быть отлично от нуля: работа этого давления над потоком, протекающим через открытый конец, и должна равняться излучаемой энергии. Подробнее этот вопрос рассмотрим в § 90.

§ 66. Свободные колебания в трубах. Задачи с начальными условиями

В ряде случаев представляют интерес колебания, возникающие в трубах в результате того, что среда в трубе была выведена из равновесия, а затем предоставлена самой себе. Если в какой-либо момент времени (будем считать его начальным) заданы рас пределения давления и скоростей частиц вдоль трубы, то, в отсутствие сторонних воздействий, можно найти колебания в трубе во все последующие моменты времени. В этой задаче принимаем, что скорости частиц и давления одинаковы по каждому сечению трубы и меняются только от сечения к сечению.

В качестве примера можно представить себе трубу с жесткими крышками, разделенную на два отрезка тонкой диафрагмой, расположенной в каком-либо сечении трубы. Если давление в одной части трубы повышают и в какой-то момент диафрагма лопается, то процесс после разрыва диафрагмы соответствует таким начальным условиям: скорость частиц равна нулю, а давление распределено ступенькой вдоль трубы. Другой пример: труба движется вдоль своей оси и внезапно останавливается при соударении с препятствием. Начальные условия в этом случае: равенство нулю начальных давлений и постоянная начальная скорость частиц по всей длине трубы.

Можно доказать, что для любых начальных условий и при любых непроницаемых для звука крышках колебание в трубе можно представить в виде суперпозиции собственных колебаний данной трубы. Это легко показать для идеальных крышек на основе теории рядов Фурье. Пусть, например, крышки абсолютно жесткие. Набор собственных частот и волновых чисел обертонов данной



трубы, т. е. всех возможных в ней [гармонических волн, имеет вид

щ = tncIL, = UilL.

Распределение давлений и скорретей в обертоне номера / можно записать в виде

pi = cos kix (Л cos (Hit -\- Bi sin (x>it),

vi = (l J pc) Sin kix(Ai sin (Hit-В/СОЗсоД

где Ai и В, - произвольные числа.

Пусть в начальный момент времени t = О заданы распределения вдоль трубы давления

р {х, 0) = Ро (х)

и скоростей частиц

V {х, 0) = Vo (х).

Подберем числа А, н Bi так, чтобы суперпозиция собственных колебаний удовлетворяла заданным начальным условиям. Для этого должны иметь место равенства

Po{x) = AiCos{kix), Vo(x) = i-Vpc)BiSlnkiX,

т. е. Ai и Bi должны равняться компонентам Фурье разложения в ряд начальных распределений давления и скорости, причем давление считается продолженным симметрично, а скорость частиц - антисимметрично; при этом разложение для давления содержит только косинусы, а разложение для скорости - только синусы.

Искомое поле можно представить в виде суперпозиции двух полей: одного р с начальными условиями

р (х,. 0) = Ро (х), У (х, 0) = о ,

и другого р" с начальными условиями

Р" (х, 0) = 0. v" (X, 0) Оо (х).

Для первого поля решение есть

р {х, О = S Л cos k,x cos <Oit,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [69] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0065