Главная Общая акустика - создание упругих волн



образом, закон сохранения импульса запишется в виде

рс -рс -р= 0.

Пользуясь полученными выше равенствами, найдем отсюда

p=pc{c - c) = pcv=pc~-. (8.2)

Эта зависимость между акустическим давлением и акустическим сжатием должна выполняться для того, чтобы законы сохранения были справедливы, т. е. для того, чтобы в системе (х) движение было установившимся. Если бы этому требованию удалось удовлетворить при каком-либо значении с, то была бы возможна плоская продольная волна, бегущая без изменения формы, и ее скорость была бы равна этому значению с.

Однако фактически такая зависимость не выполняется ни для каких реальных веществ: во всех веществах давление растет быстрее, чем плотность, а не медленнее, как следовало бы из (8.2). Следовательно, для реальных сред желаемую систему координат найти нельзя, т. е. в реальной среде продольная плоская волна не может распространяться без изменения еврей формы.

§ 9. Волны малой амплитуды. Линеаризация

Повседневный опыт и лабораторные исследования показывают, однако, что в действительности продольные волны с высокой точностью сохраняют форму своего профиля. Дело в том, что для малых амплитуд волны, когда s достаточно мало по сравнению с единицей, уравнение (8.2) удовлетворяется приближенно с высокой степенью точности. В самом деле, если пренебречь малой величиной S по сравнению с единицей, то правую часть (8.2) можно приближенно заменить величиной pcs; при этом, сохраняя члены порядка S, мы отбрасываем члены, квадратичные по s, и члены еще более высокого порядка малости. С другой стороны, при малых степенях сжатия приближенно выполняется закон Гука: давление пропорционально степени сжатия. Это значит, что, снова с точностью до членов первого порядка по s, можно считать

р = Ks, (9.1)

где постоянная К - модуль упругости среды - величина, обратная так называемой сжимаемости среды р = 1 С. Теперь для удовлетворения (8.2), т. е. для «остановки профиля», достаточно положить рс = К = 1/Р, откуда, с той же степенью точности,

. c = YK/p = W (9.2)

где, не изменяя порядка погрешности, можно в качестве плотности брать как возмущенное, так и невозмущенное значение.



Строго говоря, это - предельный результат, справедливый при стремлении s к нулю. Часто говорят, что результат относится к «бесконечно малым амплитудам». Найденная величина с есть, таким образом, скорость продольных волн бесконечно малой амплитуды. Форма волны при этом безразлична: дисперсия отсутствует и волна любой формы бежит с одной и той же скоростью, т. е. возможны волны вида р {t + xlc) при любом виде функции р. Обращаясь к физическому смыслу величин р и бр = ps как приращений невозмущенных давления Р и плотности р и комбинируя формулы (9.1) и (9.2), найдем

Из формулы (9.2) следует, что, зная плотность среды и скорость звука в ней, можно найти ее модуль упругости (или сжимаемость среды). Обычно на практике определение сжимаемости производится акустическим методом путем непосредственного измерения скорости звука и плотности среды. Как увидим, в формулу (9.2) входит адиабатическая сжимаемость среды (см. § 15).

Скорость волны малой амплитуды найдена выше в результате применения двух аппроксимаций, которые обычно называют лине-аризациями, так как они состоят в отбрасывании квадратичных по S и сохранении линейных по s членов. Одна из аппроксимаций связана с кинематикой движения: это-линеаризация соотношения между сжатием и скоростью частиц, полученного из закона сохранения массы. Она заключается в замене нелинейного соотношения (8.1) на линейное:

v = cs. (9.4)

Вторая аппроксимация относится к динамике. Эта линеаризация заключается в замене истинной зависимости между сжатием и давлением линейной зависимостью (законом Гука). В газах главная часть ошибки, вызываемой линеаризациями, обусловлена кинематической линеаризацией, в жидкостях и твердых телах - динамической линеаризацией.

Ошибка, обусловленная линеаризациями, мала в том смысле, что в уравнениях отброшены члены, малые по сравнению с сохраняемыми членами. Это не значит, однако, что ошибка будет оставаться малой и в решении уравнения, во все время движения волны. Напротив, можно показать, что ошибка, обусловленная линеаризациями, накапливается по мере распространения волны: чем дальше пробежала волна, тем сильнее деформируется ее профиль. Здесь можно провести аналогию с другими случаями, когда также пренебрежение малыми величинами по сравнению с большими приводит в конце концов к ошибке, не малой по сравнению с интересующей нас величиной. Например, силы внутренней вязкости в звуковой волне ничтожны по сравнению с силами упругости. Однако если не учитывать эти малые силы вязкости, то придем



к заключению, что волна никогда не затухнет. Здесь также причина неправильного заключения - в неучете накапливающегося эффекта. Ясно, что как квадратичными членами при определении скорости, так и вязкими силами при определении амплитуды волны можно пренебрегать только на ограниченных участках распространения волны. «Достаточная» малость «.означает, что на данном участке распространения волны ошибка не успевает накопиться до существенной в рассматриваемой задаче величины.

Из (9.4) следует, что условие применимости для плоской волны принятых аппроксимаций - малость акустического сжатия s - может быть сформулировано еще и как условие малости отношения vie скорости частиц к скорости звука по сравнению с единицей. Вообще отношение какой-либо скорости к скорости звука называют числом Маха и обозначают буквой М. Значит, линеаризация для плоской волны допустима (во всяком случае на ограниченных участках) в тех случаях, когда число Маха для движения частиЦ среды в волне мало по сравнению с единицей. Для оценки порядка чисел Маха в обычно встречаемых звуках укажем, что в воздухе при мощных звуковых волнах, создающих в ушах болевое ощущение, число Маха достигает всего 0,0014.

В этой книге нас будут интересовать волны малой амплитуды, для которых линеаризация дает малую ошибку. Только в гл. XIII мы специально рассмотрим, какие изменения вносит учет следующего приближения в нелинейных уравнениях, которым подчиняются звуковые волны.

§ 10. Замечание относительно закона Гука

Из сказанного ясно, что кинематическая аппроксимация тем точнее, чем меньше деформация (сжатие) в волне. На первый взгляд представляется, что так же должно всегда обстоять дело и с динамической аппроксимацией и что для любой среды и для деформации любого вида (пока она мала) сила должна быть пропорциональна величине, характеризующей деформацию. Можно попытаться обосновать это утверждение тем, что при малом изменении формы тела возникающую силу всегда можно разложить в степенной ряд по величине, характеризующей деформацию, и пренебречь в разложении всеми членами, кроме первого.

Однако утверждение, что упругая сила всегда пропорциональна вызывающему ее смещению, не всегда верно. Например, для растянутой упругой (т. е. растяжимой) нити, закрепленной в двух точках без провисания и оттягиваемой действием силы, приложенной к ее середине, можно принять за величину, характеризующую деформацию, поперечное смещение нити в точке действия силы. Легко видеть, что для малых значений поперечного смещения сила пропорциональна кубу смещения. В этом случае линеаризация неприменима ни при каких амплитудах. Ясно, что линеаризация возможна только тогда, когда разложение в степенной ряд



0 1 2 3 4 5 6 [7] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0114