Главная Общая акустика - создание упругих волн



Резонанс при данной сторонней скорости наступает при частоте собственных колебаний трубы, закрытой со второго конца абсолютно жесткой крышкой. Таким образом, при резонансе kL = In. Амплитуда колебания тем больше, чем ближе точка задания сторонней скорости к узлу скорости.

Трубу можно возбуждать, сообщая частицам скорости или прикладывая давление не обязательно у конца трубы, но в любой точке (в любом сечении) внутри нее. Пусть, например, труба разделена в точке xi на две части безмассовым тонким поршнем, к которому приложена сила F. Трубу будем считать закрытой с обеих сторон абсолютно жесткими крышками. Чтобы найти движение в трубе, заметим, что в силу граничных условий на крышках давление в левой части трубы должно иметь вид

р1 = А coslkx (О < X < xj),

и в правой части - вид

Р2 = В cos [k {L~ х)] (xix L).

Две неизвестные амплитуды колебаний Л и В найдутся из условий на поршне:

vi = Ра - Pi = при x = xi,

т. е. должно быть выполнено условие равенства скоростей по обе стороны поршня, а разность давлений с обеих сторон должна уравновешивать стороннюю силу, действующую на поршень площади S. Подставляя выражения для полей, найдем

1 = - 11 = 2 = -§Ч~ xi), Рз - Pi = - COS kxi -- в cos (L -г xj) = FJS,

откуда

. F sink{L - xi) d P sin fexi /С7 o\ --sin kL = -iurfer- i-f

Резонанс наступит при совпадении частоты возмущающей силы с одной из собственных частот трубы, т. е. при условии kL = In.

Нетрудно решить эту же задачу и для других видов крышек. Так, для трубы, открытой с обоих концов, найдем

Pi = Л sin kx, Pa = В sin k{L - x),

- S" sin kL -~S sin feL • •f

Для трубы, у которой слева жесткая, а справа мягкая крышка, Pi= Л cos л:, P2 = Bsin[fe(L - х)],

. F cos k(L - xi) о F sin kxi ГЧ

S cosfeL 5 cosfeL



Для трубы, закрытой крышками с проводимостями Fq и Y, Pi = А cos {kx -1-а), Pi = В cos [k {L - x) + pi,

a = -arctg (фсГо). P = arctg (фсГ/).

Амнлитуды колебаний равны

. F sin[fe(L-i) + P] д . f sin(fejct + a)

S sin(feL + a+p) S sin(K + a + P)

При любых крышках резонанс наступает при совпадении частоты возмущающей силы с одной из собственных частот трубы с заданными крышками.

Аналогичные задачи возникают и в случае, когда в трубу помещен источник жидкости. Пусть объемная скорость источника (количество жидкости, подаваемое за единицу времени) равна Ve--*. Тогда поля в каждой из частей трубы, на которые она разделена источником,- можно взять в том же виде, что и при задании силы. Но условия в месте помещения источника будут другие: в этом случае должны выполняться условия

Pi = Р2. "2 - = yiS-

Амплитуды для колебаний в левой и, правой частях трубы выразятся следующими формулами: для жестких крышек

. . V <:оък(Ь - Хл) о • V coskxi .r-n п\

= Р0 sinL PliOT (67.7)

для мягких крышек

« . К sinfe(L -л:,) D . V sin te, icn а\ = -т-sinfeL = -РГЮГ (67.8)

для трубы, у которой слева жесткая, а справа мягкая крышка, - -Ьг sinfe(L-Xi) д . V coskxi .

для крышек с проводимостями Yq и Y

Ш )

(67.9)

а-!пг cos[fe(L-o + p] ~p S sin(L + a + p)

В - ioc cos(fexi4-a)

~ Р S sin (A;L + a + p) "

Пользуясь найденными выражениями для амплитуд волн, возникающих в трубе слева и справа от источника звука, можно определить поле в трубе и в случае, когда источники звука распределены по всей длине трубы. Возьмем для определенности трубу с обеими жесткими крышками и предположим, что по всей длине



трубы распределены сторонние силы с плотностью F {х) (О < л; < L). Сила, действующая на элемент dxx в сечении х, даст, согласно (67.3), в части трубы слева от точки х поле

P. = --coskx (67.10)

и в правой части трубы - поле

/ = --°(-)• (67.11)

Чтобы найти суммарное поле в точке х трубы, вызванное всеми сторонними силами, достаточно проинтегрировать все поля вида (67.10), (67. И), по Хх, причем для области слева от точки наблюдения следует брать формулу (67.11), а для области справа от точки наблюдения - формулу (67.10), так как в первом случае точка наблюдения лежит справа от источников, а во втором- слева. В итоге получаем

X L X

р{х) = dxx+px dxx = J Р {Хх) sin kxx dxi -

о X О

--jSPiXx)5nk{L-Xx)dxx.

Например, для равномерного распределения силы вдоль трубы F (хх) = F найдем F cosk{L - x)

Pi>- S sinkL о\ ky

F coskx S sin kL

{t- i)} = kslxxikL k{L - x) - COSkx\

И в этом случае для наступления резонанса необходимо, чтобы частота возмущающей силы совпадала с частотой какого-либо собственного колебания трубы. Но этого условия недостаточно; в самом деле, при kL = In (что соответствует собственным частотам трубы) имеем

cos k (L - х) - COS kx = [(-1) - 1 ] COS kx;

значит, при / нечетном резонанс есть, а при / четном резонанса нет (в нуль обращается не только знаменатель выражения для давления, но и числитель). Это легко понять, если учесть, что передача энергии среде в трубе - это работа сторонних сил при перемещении частиц. При / четном по длине трубы укладывается четное число полуволн и каждой частице с какой-либо определенной скоростью соответствует другая со скоростью равной и прямо противо-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [71] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0123