Главная Общая акустика - создание упругих волн



положной, так что суммарная работа над всей средой в трубе оказывается равной нулю. При / нечетном этого не будет: остается одна нескомпенсированная полуволна.

Для трубы, открытой с обоих концов,, найдем аналогично

Для равномерного распределения силы вдоль трубы получится р\х) = 0. Никакого звукового колебания в этом случае нет: вся среда в трубе осциллирует как целое со скоростью о = iFISpu).

При частоте резонанса и вблизи нее при расчете амплитуды вынужденного колебания нельзя пренебрегать поглощением звука. Если поглощение отсутствует, то при резонансной частоте вообще нет установившегося колебания и амплитуда растет безгранично. При резонансе возможно нарушение линейности вследствие роста амплитуды еще до того, как затухание ограничит рост колебания. Мы будем все же считать, что линейность не нарушается (некоторые специальные явления при нелинейных колебаниях в трубах рассмотрим в гл. ХП1), и учтем потери энергии.

В реальных условиях в трубах могут наблюдаться процессы поглощения энергии различного рода. Основные механизмы - это поглощение колебательной энергии на стенках трубы вследствие вязкости среды и поглощение на крышках при наличии активной составляющей проводимости. Вязкость в самой среде всегда также приводит к поглощению энергии, однако малому по сравнению с тем, которое вызывается влиянием вязкости у стенок. Впрочем, действие вязкости в обоих случаях неразличимо и его можно учесть, считая, что волновое число комплексно: k = k {I + ir\) (см. гл. ХП).

Будем считать (это всегда имеет место в практически важных случаях), что затухание колебаний мало. Это значит, что выполняется условие т) 4 1. В этом случае распределение давлений и скоростей вдоль трубы мало отличается от распределения вне резонанса при отсутствии поглощения, но амплитуда резонансных колебаний существенно зависит от т]. В самом деле, рассмотрим этот случай, полагая для простоты, что труба имеет одну жесткую крышку и возбуждается давлением, приложенным у второго, открытого конца. В этом случае а = О и, подставляя в (67.1) вместо k комплексное волновое число (1 + гт)), получим

сов1к{\ + щ)х] Ocos[fe(I4.ni)L]"



Резонансная частота колебания номера / соответствует значению kL = [{21 - 1)/2] я. При этой частоте решение имеет вид

zos[k(\ + m)x] Р - Ро : ,а- иг -~ Ро

Г 2/ - 1 , . , л: -2-я(1 + 1Т1)-2-

(-I),VL > Л-1)[(2/-1)/2]ял

-Максимальная амплитуда у жесткой крышки равна

\Ро\

[(2/-1)/2]яг1 •

Полуширина резонансной кривой соответствует изменению величины kL на ±t]kL, т. е. относительному изменению частоты Асо/а» = = ±Т1. Следовательно, добротность колебания составляет Q = = 1/2у] и не зависит явно от номера колебания. Зависимость, однако, имеется ввиду того, что сама величина ц растет с повышением частоты.

Теперь найдем, как влияет активное сопротивление крышки на резонансную амплитуду колебания. Пусть проводимость крышки- чисто активная и величина pcR мала по сравнению с единицей. Снова предположим, что второй конец трубы открыт и к нему приложено стороннее давление рд. Полагая в (67.1) а = = arctg {ipcR) ipcR, получим

cos (kx + ipcR) p - Ро cos(kL + ipcR) •

Резонансная частота колебания номера / соответствует kL = = [{21 - 1)/2] п. При этой частоте решение имеет вид

/ 2/ - I .X , . п\ cos-2-~i-\-l9cR)

">-1=Фя-•

Максимальная амплитуда равна приближенно \pq\IpcR.

§ 68. Распространение звука в трубах с податливыми стенками

До сих пор мы считали боковые стенки трубы абсолютно жесткими. Теперь выясним, каксказывается на распространении звука податливость стенок: найдем влияние податливости стенок на скорость распространения звука.

Будем считать, что поперечник трубы мал по сравнению с длиной распространяющейся в ней волны; тогда по-прежнему можно считать движение частиц в трубе одномерным. Но изменение длины столба среды в трубе будет по-другому зависеть от давления, поскольку давление вызовет не только сжатие среды, но и изменение сечения трубы, что для волны, бегущей в трубе, равносильно изменению сжимаемости среды.



в самом деле, относительное укорочение столба среды в трубе, обусловленное сжимаемостью самой среды, равно РоР = (1/рсо) Р, где Ро и Со = Kl/pPo - сжимаемость и скорость звука для самой среды. Увеличение сечения трубы под действием давления вызовет дополнительное укорочение столба, равное А5/5,.где S - площадь сечения трубы и AS - приращение площади сечения. Это укорочение имело бы место и для несжимаемой среды. Результирующее укорочение равно РоР -Ь (AS/S). Следовательно, эффективная сжимаемость р среды равна

В среде, обладающей такой сжимаемостью и помещенной в трубу с абсолютно жесткими стенками, волны будут распространяться так же, как в данной среде, помещенной в трубу с податливыми стенками. Таким образом, скорость звука в трубе с податливыми стенками равна

Урр ]рро-Ь (pAS/pS) = Ylj (AS/5pp;0 •

Например, для круглой трубы радиуса а имеем 5 = па и A5/S= 2ula, где и-радиальное смещение стенок трубы, крторое предполагаем малым по сравнению с радиусом трубы. Это дает для круглой трубы

Р = Ро + . (68.1)

с = 0 . (68.2)

1А1+(2и/арРо)

В дальнейшем будем заниматься только круглыми трубами.

Обозначим коэффициент пропорциональности между давлением и радиальным смещением через и = р1и; это - обобщенный коэффициент упругости стенок. Для обычной упругой реакции стенок к > О и постоянно. Скорость звука выразится через этот коэффициент формулой

с = = . (68.3)

КрРо-ЬСЗр/йх) Kl-b(2/axp„)

Мы видим, что при упругой реакции стенок скорость волны в трубе меньше скорости звука в неограниченной среде и дисперсия скорости отсутствует. Реакция упругая, если периметр трубы много меньше длины волны звука в материале трубы. Дляметал-лических узких труб, заполненных газом или жидкостью (например, для водопроводных труб), это условие всегда выполнено.

Коэффициент упругости круглой трубы легко найти для случая, когда толщина б ее стенки мала по.сравнению с радиусом. Измене-

8 М. А. Исакович 225



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0152