Главная Общая акустика - создание упругих волн



ние радиуса, вызываемое данным давлением, легко найти из условия равновесия половины стенки трубы (рис. 68.1) под действием давления и упругого напряжения в стенке. Согласно показанной на рисунке схеме сил


где Е - модуль упругости стенки трубы *). Отсюда находим коэффициент упругости трубы:

X = 8Е1а\ Скорость волн найдется согласно формуле

с = . (68.4)

]Ai+(2a/e£Pe) .

Например, скорость волн в воде, заполняющей стальную трубу полуметрового диаметра с толщиной стенки 2,5 см, примерно на 10% меньше, чем скорость звука в неограниченной водной среде.

Изменение радиуса трубы под действием давления звуковой волны внутри нее создает вынужденную изгибную волну Рис. 68.1. Внутреннее да- g стенке, бегущую ВДОЛЬ ОСИ трубы. Мы вление в трубе уравнове- -

шивается напряжениями Пренебрегали возникающими в изгибнои в стенке трубы. волне перерезывающими силами, действующими между сечениями трубы, ввиду малости этих сил по сравнению с учтенными в расчете силами, растяжения, действующими в каждом сечении.

В трубе с упругими стенками могла бы распространяться волна даже при полной несжимаемости среды. В самом деле, в этом случае формула (68.3) дает

с = Уак/2р. (68.5)

Практически эта формула применима и при конечной сжимаемости, при достаточно малом коэффициенте упругости стенок. В самом деле, если выполнено соотношение х < 2/аРо, то под корнем в знаменателе (68.3) можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым, т. е. пренебречь сжимаемостью среды, что и приведет снова к (68.5). В этом случае эффективная сжимаемость практически целиком создается податливостью стенок трубы. С этим случаем встречаемся при распространении зрука в воде, заполняющей резиновую трубку, а также при распространении пульсовой волны в артерии (случай, в связи с которым и была впервые рассмотрена задача о влиянии податливости стенок трубы на скорость волны в трубе).

*) £ связано с модулем Юнга £ материала трубы формулой £= .£/(1 - V), где V - коэффициент Пуассона (см. § 138).



Если реакция стенок трубы не чисто упругая, как в разобранном выше случае, то изменение сечения трубы зависит не только от величины давления, но и от формы волны. Тогда понятие постоянной эффективной сжимаемости для любой волны ввести нельзя и оно будет годиться только для гармонических процессов. Эффективная сжимаемость будет зависеть от частоты, сможет менять знак, и появится дисперсия скорости звука: без изменения формы в такой трубе смогут распространяться только синусоидальные волны.

Переходя к этому более общему случаю, предположим, что стенки можно охарактеризовать их проводимостью Y, которую будем считать чисто мнимой (отсутствие поглощения на стенках). Так как радиальная скорость частиц в круглой трубе есть -ш«, то У = -ши/р. Уравнение (68.1) можно переписать в виде

P-Po + r = PofH-5g)-

Умножая на роз, получим квадрат волнового числа волны в трубе: = + = (68.6)

Во всех проведенных расчетах мы полагали, что движение среды одномерное, т. е. пренебрегали радиальными составляющими скоростей частиц по сравнению с их осевыми составляющими. Легко указать критерий допустимости такого предположения. В самом деле, радиальная компонента найдется по проводимости стенок трубы: и, = У-р. Осевая же компонента получится из эффективного сопротивления волны в трубе по формуле Vx = = (1/рс) р, т. е., согласно (68.6),

Очевидно, условие ] у, < будет выполнено, если

pCoF « 2/koa. (68.7)

Из (68.6) следует, что боковые стенки с проводимостью упругого типа (ly > 0) понижают фазовую скорость, а стенки с проводимостью массового типа (t К < 0) повышают фазовую скорость волны по сравнению со скоростью Cq в неограниченной среде. Если стенка осуществлена в виде обобщенной пружины с коэффициентом упругости X, т. е. У = -ш/х, то приходим к уже рассмотренному выше случаю бездисперсионного распространения со скоростью (68.3). Если стенки осуществлены в виде массы, распределенной с поверхностной плотностью т, то проводимость есть У = 1/(-шр) и дисперсионное уравнение (68.6) примет вид

. = й-е = й(.-)=*2(.-). (68.8)

8* • 227



Распространение в такой трубе возможно не при всех частотах: ниже критической частоты (ор = У2/ацРо имеем <0 и волновое число получается чисто мнимым, т. е. волна неоднородная, экспоненциально меняющаяся вдоль волновода, и колебание в ней происходит синфазно во всех точках. При частотах выше to имеем > О и волна распространяющаяся, причем имеется дисперсия: фазовая скорость оказывается равной

lI-(2/(oVPo)

в критической точке фазовая скорость бесконечна и затем монотонно уменьшается по мере увеличения частоты, стремясь к скорости звука в неограниченной среде с©. Групповую скорость найдем из (68.8), дифференцируя уравнение почленно:

dct)

dk ~ с Г со«ацРо "

Групповая скорость равна нулю при критической частоте и при повышении частоты монотонно растет, стремясь к Cq. Произведение фазовой и групповой скорости остается одинаковым для всех частот и равно квадрату скорости звука в неограниченной среде. Соотношение такого типа характерно и для многих других случаев дисперсионного распространения звука в ограниченных средах.

Если скорость волн в материале трубы меньше скорости звука в среде, заполняющей трубу (так будет, например, для резиновой трубки, заполненной водой), то в диапазоне частот, при которых трубу можно еще считать узкой, будет лежать радиальный резонанс трубы, при котором проводимость стенок обращается в бес-, конечность. При частотах ниже резонансной проводимость будет иметь характер упругости, а при частотах выше резонансных - характер массы. Соответственно усложнится и дисперсионное поведение трубы. В самом деле, рассмотрим радиальные колебания трубы под действием гармонического внутреннего давления р. Боковые стенки трубы можно считать колебательной системой, в которой элементом массы является масса самой стенки, а упругая сила создается растяжением оболочки при изменении ее радиуса. Для радиального колебания можно написать уравнение движения стенки в виде

-озыц = р - х«, (68.9)

~ где коэффициент упругости к-дается формулой (68.4). Из (68.9) следует, что проводимость стенки трубы равна

Y -i(ou -tco/fj.

р - cof-to -

где coj = У у,/[I есть собственная частота радиально-симметрич-дых колебаний пустой трубы. Дисперсионное уравнение (68.6)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 [73] 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0171