Главная Общая акустика - создание упругих волн



приходится решать методом Фурье, разлагая сигнал на его гармонические составляющие.

Но главная трудность изучения распространения звука в волноводах лежит в том, что даже при одной частоте в данном волноводе могут существовать волны, меняющие форму при распространении. Гармонические волны, распространяющиеся без изменения формы, называют нормальными волнами данного волновода. Можно показать, что любая гармоническая волна может быть представлена в виде суперпозиции таких нормальных волн. Поэтому начнем с нахождения всех нормальных волн данного волновода на различных частотах, с определения скорости их распространения, дисперсии, распределения давления и скоростей частиц по сечению волновода. Вначале ограничимся простейшими типами волноводов: трубами и слоями с жесткими границами. Таковы все искусственные волноводы, более простые, чем естественные волноводы в непрерывных слоистых средах.

§ 70. Нормальные волны. Плоская задача

Изучение волноводного распространения начнем с простейшего случая - с плоской задачи. Пусть волновод образован однородной средой, заполняющей слой между двумя параллельными стенками или трубу прямоугольного сечения. Координатную плоскость ху выберем на одной из стенок и ограничимся пока движениями, происходящими параллельно плоскости xz и не зависящими от координаты у. Стенки волновода будем считать непроницаемыми для звука. Значит, в направлении оси z волна должна быть стоячей.

Поэтому гармоническую волну частоты ю, бегущую вдоль волновода без изменения формы, можно записать в виде

p = pocosaz + 8)e±" (70.1)

где верхний и нижний знаки относятся к волнам, бегущим вправо и влево соответственно. Продольная и поперечная компоненты и i волнового числа k = т/с должны удовлетворять соотношению

V + Z = /г\ (70.2)

Следовательно, нормальную волну можно записать также в таком виде:

p = PoCos(Sz + 8)exp(±iKx). (70.3)

Величины Сие определяются из граничных условий на стенках волновода, т. е. при z = О и z = /г, где h - высота волновода. В зависимости от конструкции стенок граничные условия могут зависеть от частоты, но могут и не зависеть. Мы увидим ниже, что при каждой частоте граничные условия определяют не одно-единственное значение , но бесконечный ряд дискретных значений, каждому из которых соответствует своя нррмальная волна.



Будем нумеровать нормальные волны в порядке возрастания t-

Отметим здесь аналогию нормальных волн с собственными колебаниями среды в ограниченной узкой трубе, где также существует дискретный бесконечный набор (стоячих) волн. Однако в трубе каждое собственное колебание может существовать только на одной-единственной частоте, в то время как нормальная волна в волноводе возможна при любой частоте. Поведение данной нормальной волны существенно зависит от частоты. Для частот, при которых Z <Ck, значение I вещественно и волна распространяющаяся; при значение мнимое и волна (неоднородная с экспоненциальным изменением амплитуды вдоль волновода) превращается всинфазное колебание среды во всех точках:

p = PoCos(Cz + 8)exp(±Kcx). (70.4)

Как и неоднородные бегущие волны в неограниченной среде, неоднородные нормальные волны не могут существовать во всем волноводе, а только в том полуволноводе, в котором волна убывает, либо на конечном отрезке волновода. Частоту, при которой t, = k и, следовательно, 1 - 0, называют критической. При частоте выше критической волна распространяющаяся, при частоте ниже критической - неоднородная. На самой критической частоте колебания в волноводе происходят синфазно по всей его длине, с постоянной амплитудой вдоль волновода. Волновод на этой частоте ведет себя как труба бесконечной ширины в направлении оси X с длиной, равной h, причем роль крышек играют стенки волновода. Критические частоты волновода - это собственные частоты такой трубы.

Каждую нормальную волну вида (70.1) удобно рассматривать как некоторую гармоническую волну, бегущую вдоль оси х, с фронтом, перпендикулярным к направлению распространения, но, в отличие от плоских волн в неограниченной среде, с амплитудой, меняющейся вдоль фронта (по косинусоиде). Волновое число такой волны есть . Уравнение (70.2) можно считать дисперсионным уравнением нормальных волн: оно связывает волновое число с частотой, входящей в уравнение явно (через посредство k) и неявно (через посредство Z, в случае зависимости этой величины от частоты). Если волна распространяющаяся, можно ввести понятие фазовой скорости нормальной волны у:

у = (в/. (70.5)

Так как в распространяющейся волне ]<[ k, то фазовая скорость нормальных волн больше скорости звука в среде (исключительный случай у <Сс рассмотрим в § 72). Бесконечность фазовой скорости при критической частоте выражает синфазность колебаний по всей длине волновода.



Продольная компонента скорости частиц в данной нормальной волне равна

c;, = J-=4--lp=4-- = 4-JZE2:p. (70.6) tpoo дх - ри ~ PV ~ pw

Распределение продольной компоненты скорости совпадает, таким образом, с распределением давления. Соотношению р = pcv для плоских волн в неограниченной среде соответствует соотношение р = pyv в нормальной волне. Величина - аналог волнового сопротивления для нормальной волны. Для нормальной волны скорость частиц в направлении распространения меньше, чем для плоской волны в неограниченной среде при том же значении давления.

Фазовая скорость данной нормальной волны зависит от частоты: волноводное распространение происходит с дисперсией. Для данного номера нормальной волны можно ввести понятие группы волн, так же как и для других одномерных волн, как суперпозиции нормальных волн одного и того же номера, но разных (близких) частот. Если спектр нормальной волны узкий, то волна имеет вдоль оси х вид длинного цуга и можно следить за его огибающей, скорость и которой и явится групповой скоростью данной нормальной волны. Согласно § 27, ы = da/di,. Дифференцируя обе части дисперсионного уравнения (70.2), найдем

откуда получим для групповой скорости выражение

d(co*)

Если в данном волноводе t, для данной нормальной волны от частоты не зависит, то получается следующее простое соотношение между фазовой и групповой скоростями:

иу-=с\ (70.8)

В этом случае групповая скорость нормальной волны всегда меньше скорости звука. Замечательно, что иногда групповая скорость в волноводе может быть больше скорости звука в среде. "Не останавливаясь подробно на этом вопросе, заметим только, что такое явление возможно, например, в тех случаях, когда стенки волновода сами представляют собой упругие среды со скоростью звука в них большей, чем в среде, заполняющей волновод.

Диспрйсия скорости звука в волноводах никак не связана со свойствами самой среды, заполняющей волновод: это - «геометрическая» дисперсия, обусловленная наличием границ. В этом отношении есть сходство между дисперсией в волноводе и дисперсией изгибных волн в стержнях, также обусловленной наличием



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [75] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.012