Главная Общая акустика - создание упругих волн



границ (хотя законы дисперсии в обоих случаях различны). В гл. XII мы познакомимся с дисперсией плоских волн в неограниченной среде, носящей другой характер и обусловленной именно свойствами среды.

Распределение поперечной компоненты скорости частиц дается формулой

= 71г = /озШ(Сг + е).±. (70.9)

Если ни 1, ни е не зависят для данной нормальной волны от частоты, то поперечные распределения давления и обеих компонент скоростей также не зависят от частоты. Траектории частиц - эллипсы с осями, лежащими вдоль осей х и z. В узлах давления эллипсы вырождаются в вертикальные отрезки, а в максимумах давления - в горизонтальные отрезки.

В неоднородной нормальной волне Ц > k) скорости частиц равны

Компоненты скорости оказываются синфазными, значит, траектории частиц-отрезки прямых линий. Наклон прямых меняется по высоте волновода: от горизонтального в точках iz + г = 1л до вертикального в точках -Ь е = 1(2/ - 1)/2 ] л. Напомним, что для плоских волн ситуация обратная: траектории-отрезки прямых в однородных волнах и эллипсы в неоднородных волнах. В неоднородной нормальной волне амплитуда продольной компоненты скорости частиц может превышать скорость частиц в однородной плоской волне при той же амплитуде давления в данной точке.

Нормальную волну можно представить в виде суперпозиции двух плоских волн, бегущих под одинаковыми углами к оси волновода. Так, согласно (70.1) для волны, бегущей вправо,-

р = -l-po[exp(ix + tXz + /e) + exp(/x-tXz-t8)]; (70.10)-

и - компоненты волновых векторов составляющих плоских волн по осям и 2. Углы наклона волновых векторов к оси волновода - углы скольжения составляющих волн - определяются уравнением

sin е = ±/k или cos е = l/k, (70.11)



Компонента скорости частиц вдоль оси волновода может быть записана через угол скольжения в виде

Vx = (р/рс) cos 9.

Фазовая скорость нормальной волны выразится через угол скольжения составляющих волн формулой

Y = c/cos 9. (70.12)

Фазовая скорость равна скорости следа составляющих волн на стенках волновода. Величина - волновое число следа.

Каждую из плоских волн, образующих нормальную волну, можно считать отражением второй из них на соответственной границе. Волна ехр (ix + it,z + le) - отражение волны ехр (ix - 12 - 18) в стенке z = О, а волна ехр (ix - iZ,z - - 18) - отражение волны ехр (ix + ISz + iz) в стенке z = h. Новым по сравнению с обычным случаем отражения от стенки является взаимность соотношения падающая - отраженная волна на обеих границах сразу. Именно требование этой взаимности и приводит к дисперсионному уравнению (70.2). При критической частоте 0 = п/2.

Нормальную волну можно интерпретировать еще одним способом: как участок интерференционной картины в неограниченной среде, образованной двумя плоскими волнами, наклоненными своими волновыми векторами под углами ±0 к оси х (ср. § 18). При этом на плоскостях z = О и z = /i отношение давления к z-компоненте скорости должно быть как раз равно импедансу стенок при данном угле скольжения. Тогда можно заключить в волновод участок интерференционной картины, не изменяя ее. Заключенная в волновод часть интерференционной картины и представит собой нормальную волну в волноводе. Например, если на этих плоскостях z-компонента скорости частиц обращается в нуль, то в среду можно вложить две бесконечные абсолютно жесткие плоскости Z = О и Z = /i, не нарушая движения среды.

Представление нормальной волны в виде двух плоских волн возможно л для неоднородных нормальных волн. В этом случае обе составляющие плоские волны тоже будут неоднородными, бегущими по оси z.

§ 71. Волноводы с идеальными стенками

Свойства нормальных волн проиллюстрируем на примере волноводов с идеальными стенками. Пусть обе стенки абсолютно жесткие. Условие абсолютной жесткости стенок - это требование обращения в нуль z-компоненты скорости частиц на стенках. Согласно формуле (70.9) для того, чтобы условие было выполнено на нижней стенке, должно быть 8 = 0. Условие на верхней стенке принимает тогда вид sin = О, откуда находим

th = In,



где / - любое целое число. Таким образом, нормальная волна в волноводе с жесткими стенками имеет вид

р = Ро cos ( г) ехр (tfe /1 - ( )\) (71.1)

(для определенности выбираем волны, бегущие вправо). Компоненты скорости частиц выражаются формулами

V\~(ln/kh) „ -

», = -Р.=,„(.)ехр{;.-)ЛЗЩ,).

Целое число / = О, 1, 2, ... называют номером нормальной волны. Оно дает число нулей (узлов давления) в поперечном распределении амплитуды давления. На рис. 71.1 слева показано


Рис. 71.1. а) Распределение давлений и л;-компоненты скорости частиц для первых трех нормальных волн (не считая нулевой) в волноводе с жесткими стенками; б) распределение г-компоненты скорости частиц для этих волн.

распределение давления для нескольких первых номеров нормальных волн; одновременно эти графики дают в некотором масштабе распределение л;-компоненты скорости частиц; справа дано распределение 2-компоненты скорости. По высоте волновода укладывается целое число полуволн, равное номеру нормальной волны. Так как величина t, для данного номера нормальной волны не зависит от частоты, то эти длины полуволн никак не связаны с длиной волны звука данной частоты в неограниченной среде: в данном случае распределение давлений поперек волновода в данной нормальной волне не зависит от частоты звука, а только от номера волны и от высоты волновода; оно не зависит и от свойств среды, заполняющей волновод. Это распределение поперек волновода в данной нормальной волне полностью совпадает по форме с распределением давления в узкой трубе длины h, закрытой с обеих сторон абсолютно жесткими крышками, при собственном колебании того же номера, что и данная нормальная волна.

В волноводе сабсолютно жесткими стенками существует нулевая нормальнаяволна вида р = е** (/ = 0, С = О, I, = k). Для нее нет соответственного собственного колебания в трубе. Это - обычная плоская волна, какая распространяется и в не-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 [76] 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0143