Главная Общая акустика - создание упругих волн



ограниченной среде. Она не типична для волноводов: она, в частности, не имеет дисперсии. Для всех номеров, не равных нулю, распространение типично волноводное. Дисперсионное уравнение


Рис. 71.2. Дисперсионные кривые фазовых и групповых скоростей в волноводе с жесткими стенками. Горизонтальная прямая - «дисперсионная кривая» для нулевой нормальной волны (фазовая и групповая скорости постоянны и равны скорости звука в неограниченной среде.)

для волновода с жесткими стенками можно записать в виде

Фазовая скорость равна

(71.2) (71.3)

Так как С для данного номера нормальной волны от частоты не зависит, то групповая скорость равна

ucYl-{ln/kh)\ - (71.4)

За исключением волны нулевого номера, фазовые скорости всех нормальных волн выше скорости звука в среде, а групповые - ниже этой скорости. При увеличении частоты фазовая скорость монотонно убывает, стремясь к с асимптотически сверху, а групповая - растет, стремясь к с снизу. При критической частоте фазовая скорость данной нормальной волны равна бесконечности, а групповая - нулю. Для данной частоты фазовая скорость тем выше (а групповая тем ниже), чем выше номер нормальной волны. Для неоднородных нормальных волн показатель экспоненты затухания тем больше, чем выше номер волны.

На рис. 71.2 дан график частотной зависимости фазовых и групповых скоростей нескольких нормальных волн первых но-



меров. В качестве аргумента взята удобная при изучении волноводов безразмерная величина kh, пропорциональная частоте; этой величиной часто будем пользоваться как аргументом и в дальнейшем. Проводя на графике прямую, параллельную оси абсцисс, найдем значения аргумента kh для волн разных номеров, имеющих одинаковые фазовые (и групповые) скорости. Любая сумма нормальных волн этих частот, взятых с произвольными амплитудами, распространяется в волноводе без изменения формы. Две разные нормальные волны имеют равные фазовые или групповые скорости, если их частоты относятся как их номера. Следовательно, дисперсионные кривые волн разных номеров переходят друг в друга при однородном растяжении графика; абсциссы точек пересечения графиков с любой горизонтальной прямой образуют арифметическую прогрессию.

Набор критических частот в волноводе с жесткими стенками совпадает с набором собственных частот в трубе длиной h с жесткими крышками. При дальнейшем понижении частоты ниже критического значения распространение данной нормальной волны прекращается и она превращается в неоднородную. При этом распределение давления поперек волновода остается таким же, как и при частотах выше критической. Прекращение распространения называют запиранием волновода для данной нормальной волны.

Если волновод оказался запертым для какого-либо номера, то он будет заперт и для всех волн высших номеров. Для нулевой нормальной волны критической частоты нет (условно, для общности, можно считать, что критическая частота есть, но равна нулю): для нее волновод не запирается ни при какой конечной частоте, и эта волна в волноводе с жесткими стенками всегда распространяющаяся. Из других нормальных волн при данной частоте распространяются только те, для которых / < kh/n; при частотах ниже первой критической (kh <л; высота волновода меньше половины длины волны звука данной частоты) распространяется только волна нулевого номера; все остальные нормальные волны Неоднородные. Следовательно, такая труба узкая (см. § 61).

Узкие трубы часто применяют с целью получить в них плоскую волну (такие трубы применяются, например, для измерения импедансов материалов). Мы уже знаем, что в неограниченном пространстве создать плоскую волну невозможно, а в узкой трубе, какой бы излучатель ни создавал гармоническое звуковое поле, на некотором расстоянии от него в волноводе будет бежать только плоская волна вида е*: остальные нормальные волны, которые могли создаться источником, неоднородные, и их поле быстро затухает при удалении от источника. В широкой трубе получить поле плоской волны в чистом виде трудно, так как в ней могут распространяться и волны высших порядков. Это обстоятельство ограничивает на практике поперечные размеры труб, используемых для создания в них плоских волн.



в широкой трубе также можно создать плоскую волну, пользуясь специальным источником, например, излучая звук пластинкой, закрывающей все сечение трубы, совершающей колебания поршневого типа и не возбуждающей волн высших порядков. Но если излучатель не чисто поршневой или если в волноводе имеются какие-либо неровности, то нормальные волны высших порядков в волноводе появятся и поле нулевой нормальной волны будет в той или иной степени этими волнами искажено. Только в узкой трубе любое искажение формы плоской волны экспоненциально затухает вдоль нее и поэтому практически не сказывается.

Представление нормальной волны в виде пары плоских волн имеет для волновода с жесткими стенками вид

+ ехр(-(. + «-/.-()4 (71.5)

Углы скольжения этих волн определяются зависимостью"

sin е = 1л/kh. (71.6

Фазовая скорость выражается через этот угол скольжения (как и для любого волновода) формулой (70.12). Групповая скорость в волноводе с жесткими стенками равна и = с cos 6. Для наглядной интерпретации этого выражения достаточно представить себе, что вместо монохроматической волны взята волна с узким спектром - длинный цуг. В неограниченной среде скорость цуга равна с. Но в волноводе нормальная волна образована- последовательными отражениями плоской волны от стенок, происходящими • подобно отражениям мяча, брошенного об стенку под углом в. Цуг проходит зигзагообразный путь, двигаясь вдоль зигзагов со скоростью с. Поэтому вдоль оси волновода его перемещение происходит со скоростью с cos 6, т. е. с групповой скоростью.

Для волновода с абсолютно мягкими стенками найдем нормальные волны, полагая е = -я/2 и /i = /л (Z = 1, 2, . . .). Нормальные волны в таком волноводе имеют вид

Компоненты скорости частиц равны

Vi-(ln/kh)

p.cc.(.)expj,*/l-(0.

Нулевая волна отсутствует. Ниже частоты nc/h - критической частоты для нормальной волны номера 1 - никакая волна в дан-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [77] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0139