Главная Общая акустика - создание упругих волн



ном волноводе распространяться не может. Поперечные распределения давления и z-компоненты скорости совпадают с распределениями соответственных величин в трубе с открытыми концами. Критические частоты, фазовые и групповые скорости в волноводе с мягкими стенками даются теми же формулами, что и для волновода с абсолютно жесткими стенками. Таким образом, график дисперсионных кривых уобоих типов волноводов одинаковый (за исключением линии нулевой волны, отсутствующей для волновода с мягкими стенками). Для волновода с мягкими стенками представление нормальной волны в виде пары плоских волн имеет вид

p.[exp(.-ii. + ,*/l-()%)-

Углы скольжения этих волн определяются формулой (71.6).

Наконец, в волноводе с одной жесткой и одной мягкой стенкой (для определенности за жесткую стенку примем границу 2 = 0) нормальные волны имеют вид

р = p„cos (L L яг) ехр [ik ]/l - ( nj

что соответствует е = О и граничному условию на верхней границе t,h = [(2/- 1)/2] я, где / = 1, 2, ... Здесь также отсутствует нулевая волна. Критические частоты образуют последовательность, пропорциональную нечетным целым числам: -g- ;

~1~ "Т" "1~ собственные частоты в трубе с одной жесткой и одной мягкой стенкой. Нормальная волна выражается в виде суммы двух плоских волн следующим образом:

p=l-p,[exp[i\nz + ikYl-[Ln)\)

+ ехр

- I-

. 21- 1

Углы скольжения плоских волн определяются из соотношения, sin 9 = [(21- l)/2kh] я. Фазовая и групповая скорости равны соответственно

у = с



§ 72.; Нормальная проводимость стенок

Теперь рассмотрим волноводы со стенками, характеризующимися нормальной проводимостью. Характерные черты таких волноводов будут ясны уже в случае, если одна стенка волновода (например, нижняя) абсолютно жесткая и только вторая характеризуется нормальной проводимостью." Полагая для простоты записи амплитуду волны равной единице, можем нормальные волны для этого случая записать в виде

ч p = ecosCz; (72.1)

г-компонента скорости частиц выразится формулой

0 = --esinz. (72.2)

Граничное условие на верхней стенке запишется так:

(f./p).=ft = r,

где Y-проводимость стенки. Подставляя сюда (72.1) и (72.2), найдем условие на верхней стенке:

Zh tg Zh = -tpco/iF = -ir\kh, (72.3)

где т1,= рсУ- относительная проводимость стенки. Эту формулу можно рассматривать как дисперсионное уравнение для данного волновода: определив отсюда S, найдем I из (70.2). В настоящем параграфе ограничимся случаями чисто мнимой проводимости, т. е. будем считать, что потерь на стенке нет. Наличие вещественного слагаемого в У, соответствующего поглощению на стенке, рассмотрим в § 74.

Выясним, когда можно пренебрегать конечной проводимостью второй стенки, т. е. при каком условии нормальные волны в волноводе мало отличаются от соответственных волн в волноводе с обеими жесткими стенками. Требований два: должно мало измениться распределение давлений поперек волновода и должна мало измениться скорость волны. Для нулевой нормальной волны первое требование будет удовлетворено, если величина мала по

сравнению с единицей. В этом случае, полагав в (72.3) тангенс равным аргументу, имеем приближенно (СА) = -ir\kh, откуда получим требование к проводимости в виде: г] < \/kh. Далее приближенно найдем

lh = kh(l-{-±iy (72.4)

Следовательно, для того чтобы скорость волны мало изменилась, должно выполниться требования 1111 С kh. Для широкого волновода более жестким является первое условие, для узкого - второе.



Для волны произвольного номера / =f О приближенное сохранение распределения давления поперек волновода требует выполнения условия t,h = In + е, где е <С тогда (72.3) приводит к требованию \t] \ < In/kh. Далее с той же степенью точности, что и выше

т = {иг[+] (72.5)

где {lohy = {khy - {tny, и, следовательно, чтобы скорость мало изменилась, требуется выполнение условия \ц\ 4;i {loh)/2kh. Это условие может оказаться значительно жестче первого условия при приближении к критической частоте данной нормальной волны.

Можно получить аналогичные условия для очень большой проводимости стенки. Нормальные волны будут в этом случае близки « волнам с абсолютно мягкой второй стенкой. Если проводимость ИИ очень мала, ни очень велика, то нормальные волны не похожи на те, которые получаются при идеальных стенках, и приходится, исследовать дисперсионное уравнение более подробно, К этому сейчас и перейдем.

Если стенка осуществлена в виде сосредоточенной массы, то проводимость ее равна t/wp,, где р - поверхностная плотность стенки. Дисперсионное уравнение можно записать в этом случае в виде

ctg Zh = (p/p/i) S/i. (72.6)

Если стенка осуществлена в виде сосредоточенной упругости, то проводимость равна -ico/x, где х - поверхностный коэффициент упругости. В этом случае дисперсионное уравнение принимает вид

Ih tgUi = - р/ио/х = - coVcoo. (72.7)

Здесь через соц = У х/рЛ обозначена собственная частота осциллятора, образованного стенкой как элементом упругости, и средой, заполняющей волновод, как элементом массы.

Если проводимость стенки чисто мнимая, но стенка осуществлена не в простейшем виде сосредоточенной массы или упругости, а в виде более сложной конструкции, вышеприведенными формулами можно все же пользоваться, однако в этом случае следует приписывать величинам поверхностной плотности или упругости значения, соответственно меняющиеся с частотой. Так, для положительной мнимой проводимости достаточно положить в (72.6) ц = 1/(-шК (и)), а для отрицательной мнимой проводимости положить в (72.7) х = aliY (ю).

Найдем нормальные волны для стенки в виде сосредоточенной массы. Дисперсионное уравнение можно решать графическим методом, отыскивая, точки пересечения ветвей котангенсоиды ctg t,h



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [78] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0122