Главная Общая акустика - создание упругих волн




и прямой (р,/рЛ) t,h (рис. 72.1). Абсциссы получающихся точек пересечения дадут нам искомые значения th для последовательных номеров нормальных волн. Так как эти значения не зависят от частоты волны, то (как и в случае абсолютно жестких или абсолютно мягких стенок) распределение поля поперек волновода для данной нормальной волны также не будет зависеть от частоты, и будет справедлива формула (70.8). В рассматриваемом волноводе имеются волны всех номеров, включая и нулевую волну, т. е.

волну, для которой знак давления сохраняется по всей высоте волновода. Значения абсцисс точек пересечения дают также критические значения kh. В отличие от случая обеих жестких стенок критическая частота нормальной волны нулевого номера отлична от нуля. Таким образом, при достаточно низкой частоте в волноводе не может распространяться никакая нормальная волна. Нулевая волна также обладает дисперсией и ее фазовая скорость обращается в бесконечность, а групповая скорость обращается в нуль при критической частоте. Значение l,h для нормальной волны номера / лежит между In и 1(2/ -Н 1)/2] зх, сдвигаясь к первому значению при увеличении массы и ко второму - при уменьшении массы. При безграничном увеличении поверхностной плотности или при стремлении ее к нулю придем соответственно к предельным случаям волновода с обеими бесконечно жесткими стенками и к волноводу с одной бесконечно жесткой и одной абсолютно мягкой стенкой. Последнее объясняет «запирание» волновода на конечной частоте для нулевой волны.

Для случаев «малой» и «большой» массы стенки дисперсионное уравнение можно решить приближенно и аналитически. Так, для тех номеров нормальных волн, для которых ц/рЛ < \11п («малая нагрузка»), можно положить th = 1(2/ + 1)/2] п - е, где е<1. Тогда из (72.6) найдем приближенно

Рис. 72.1. Графическое решение дисперсионного уравнения (72.6) для волновода с массовой стенкой. Точки ао> 0.1, дают значения Z,h для нормальных волн соответственных номеров независимо от частоты; они же дают критические значения kh для этих нормальных волн.

и 2/+1

откуда

Нормальные волны мало отличаются от волн для волновода с мягкой стенкой. Для нормальных волн, для которых р/рЛ > 1 я («большая нагрузка»), можно положить \h = Ы -\- г, где е < 1. Тогда приближенно

рй

откуда lh=ln{l+).



Нормальные волны высоких номеров мало отличаются от нормальных волн для волновода с абсолютно жесткими стенками, как и следовало ожидать ввиду роста импеданса массового типа при увеличении частоты.

Теперь перейдем к случаю стенки упругого типа. Выясним раньше всего, возможна ли в таком волноводе нулевая волна, т. е. волна, сохраняющая знак давления по всему поперечному сечению волновода. Для того чтобы сохранялся знак давления, должно быть Zh < я/2. Но в пределах первой четверти тангенс положителен, значит, уравнение (72.7) такого корня не имеет и нулевой волны с вещественным Z быть не может. Решение, однако, есть при Z чисто мнимом: полагая t = ir, приведем (72.7) к виду

rh th rh = ipahY. (72.8)

Так как при изменении г от нуля до бесконечности левая часть (72.8) изменяется также от нуля до бесконечности, то, каково бы ни было отрицательное мнимое У, уравнение всегда имеет решение. Искомая волна имеет вид


р = ch (rz) • ехр {i Vte -\- гЧ), (72.9)

Рис. 72.2. Графическое решение дисперсионного уравиеиия (72.10) для нулевой волны в волноводе с упругой стенкой.

где г- решение уравнения (72.8). Таким образом, в волноводе с упругой стенкой нулевая волна имеется при любой частоте (критическая частота равна нулю). Нулевая волна при низкой частоте- это то же, что волна в узкой трубе с упругой стенкой (§ 68). Фазовая скорость этой волны меньше скорости звука в неограниченной среде, - это и есть то исключение, которое упоминалось в § 70. Нулевая волна обладает дисперсией скорости.

Для волновода с упругой стенкой, осуществляемой устройством типа пружины, дисперсионное уравнение для нулевой волны можно представить в виде

cih rh =

рс« (khf

rh =

(72.10)

Это уравнение удобно решать графическиХ(рис. 72.2), отыскивая точку пересечения графиков зависимости от rh гиперболического котангенса cth rh и прямой



Если задано значение kh или частота волны, то угол наклона ф прямой найдется. из уравнения

tg9 =

При (О = (Оо, что соответствует ф = 45°, rh = 1,2 и ch r/i = = 1,8; это значит, что давление на нижней стенке составляет 1/1,8 = 0,56 от давления на верхней стенке.

Дисперсионное уравнение упрощается для «малых» (ю/соо С 1) и для «больших» (со/соо > 1) частот. В первом случае rh 1 и можно положить приближенно th rh = rh; дисперсионное уравнение примет вид (r/i) = (o/cOq, откуда получим = k {I + + pcVx/i). В этом случае распространение происходит в принятом приближении без дисперсии, со скоростью

Лоле нулевой волны в этом случае приближенно выражается так:

т. е. давление распределено по сечению волновода почти равномерно. Выражение для скорости волны подобно выражению, полученному в § 68 для узкой трубы с упругой стенкой. Мы видим, что применимость этой формулы не требует обязательно узости .волновода: достаточно выполнения условия

которое осуществимо и в широкой трубе {Ih > 1), если только х .достаточно велико.

В другом предельном случае со/соо > 1 гиперболический котангенс можно приближенно положить равным единице. Тогда rh (pcVx/i) (khy > 1 и дисперсионное уравнение нулевой нормальной волны примет вид

(рс)г

V = f 1 +

(>t/0))aj •

Дисперсионное уравнение оказывается независимым от высоты волновода и совпадает с уравнением поверхностной волны, бегущей вдоль импедансной упругой поверхности с поверхностной упругостью X (§ 59). Это значит, что поле вблизи жесткой стенки настолько мало по сравнению с полем на упругой стенке, что наличие или отсутствие второй стенки (или замена ее стенкой с другими свойствами) уже не играет роли. Здесь в свою очередь выделяются два предельных случая: большое и малое значение параметра



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 [79] 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.013