Главная Общая акустика - создание упругих волн



начинается с члена, содержащего первую степень величины, характеризующей деформацию.

Встречаются, как исключение, и неограниченные среды, в которых нельзя произвести линеаризацию соотношения деформация - сила даже для малых деформаций, например сыпучие тела, порошки. Так, при сжатии песка или порошка упругие силы возникают, но при растяжении песчинки просто отходят друг от друга и сила упругости не возникает. Линейность соотношения деформация - сила получится, если песок уже сжат предварительно, как, например, в песчаном грунте на большой глубине, где песчинки прижаты друг к другу весом вышележащих слоев; сжатие будет увеличивать, а разрежение - уменьшать уже имеющуюся упругую силу взаимодействия между песчинками и дополнительная сила будет линейно зависеть от деформации.

Опыт показывает, что в обычных однородных связных средах йакон Гука справедлив для малых деформаций и без всякого предварительного сжатия. Среды, в которых выполняется закон Гука для малых деформаций, будем называть линейными.



ГЛАВА II

0БЩИ1Е УРАВНЕНИЯ АКУСТИКИ. ПЛ0С1<СИЕ ВОЛНЫ

§11. Полная С1*стема уравнений гидродинамики

В этой главе мы начиням систематическое изучение акустики. «Остановка движения» -- искусственный прием, которым удается рассматривать только одномерные бегущие волны. Поэтому сейчас обратимся к полной сист" уравнений гидродинамики (о ней уже упоминалось в § 3), котсРя позволит изучать любые волны. Напомним вкратце вывод эуравнений (подробности можно найти в любом учебнике гидроД*"*)-

Начнем с вывода уравнения Эйлера - уравнения движения частиц под действием сиЛ упругости среды. Рассмотрим малую частицу среды объема й, ограниченную поверхностью S. Так как частица мала, а хара/теристики среды непрерывны, можем считать плотность среды "° й частице постоянной, массу частицы приравнять pfi и, полагая, что вся частица движется как одно целое, найти ее ускорение как производную dvldt ее скорости по времени. Силы, действу/ощие на частицу со стороны окружающей среды, - это силы давления. На элемент поверхности dS = N dS (dS - площадь элементе- единичная внешняя нормаль к поверхности) действует ch. ~Р результирующая сил давления составит

pdS.

Таким образом, в приминии к частице, находящейся под действием только сил дав/бния, второй закон Ньютона имеет вид

pQ=-jpdS.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского интеграл по поверхности можно заменить интегралом по объему:

pdS= \ ypdQ.

Но при непрерывности «ех характеристик среды градиент давления на протяжении малР* частицы можно считать постоянным, так.



что интеграл равен fi Vp. Окончательно, сокращая на fi и перенося все члены в одну часть, получимуравнение Эйлера

P-J + Vp = 0. (11.1)

Если помимо сил давления на среду действуют сторонние силы, распределенные с плотностью /на единицу объема, то уравнение (11.1) примет вид

P + Vp = /. (11.2)

Уравнение движения среды есть нелинейное векторное уравнение первого порядка относительно характеристик среды р, v, р.

Так как скорость частиц зависит и от времени, и от координат, то ее производную по времени следует брать с учетом того, что координаты частицы сами зависят от времени. Ускорение выражается через частные производные скорости по времени и по координатам следующим образом:

Первый член справа - так называемое локальное ускорение - производная скорости по времени, явно входящему; эта часть ускорения характеризует изменение скорости в данном месте пространства. При установившемся течении среды (например, при равномерном протекании жидкости по трубе переменного сечения) эта производная равна нулю. Остальные члены образуют так называемое конвективное ускорение, обусловленное переходом частицы из места с одной скоростью в место с другой скоростью. Например, при равномерном течении жидкости в трубе переменного сечения эта часть характеризует увеличение скорости частиц при переходе из широкой части трубы в узкую и уменьшение - при переходе из узкой части в широкую. Пользуясь (11.3), можно записать уравнение Эйлера в виде

P+pmv-]-Vp = 0. (11.4)

Выведем теперь уравнение неразрывности среды. Название связано с тем, что это уравнение справедливо, только если в среде не образуется разрывов (как, например, разрывы при кавитации).

Рассмотрим объем Q среды, ограниченный неподвижной поверхностью 5. Если разрывов нет, то приращение массы в объеме равно массе среды, втекшей через поверхность 5. Скорость приращения массы в малом объеме равна Q -1-; масса, втекающая за единицу времени через элемент поверхности dS, равна -pv dS.

2 М. А. Исакович 33



0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0109