Главная Общая акустика - создание упругих волн



по сравнению с единицей (выше предполагалось только, что-

это отношение велико по ср получим фазовую скорость

это отношение велико по сравнению с Ukh). Для случая -~ > 1

у = х/рю.

фазовая скорость может оказаться много меньшей с. Групповая скорость равна в этом случае половине фазовой.

Для другого предельного случая С 1 как фазовая, так

и групповая скорости мало зависят от частоты, почти равны скорости в неограниченной среде и обе меньше этой скорости. Однако-распределение давления поперек волновода и в этом случае таково, что на второй стенке поле много меньше, чем на упругой стенке. Хотя поправка к скорости сравнительно с однородной волной и мала, но в распределение амплитуд по фронту она входит в экспоненту и поэтому сказывается сильно.

Итак, в волноводе с упругой стенкой всегда есть нулевая упругая волна (72.9). Фазовая скорость ее распространения всегда-меньше скорости распространения в неограниченной среде.

Кроме нулевой волны в таком волноводе могут распространяться и нормальные волны волноводного типа - волны высших номеров, для которых давление уже не сохраняет знак по всему сечению волновода. Каждая из них будет даваться формулой (72.1) при вещественных значениях Z- Для каждой из них имеется своя критическая частота, ниже которой данная нормальная волна будет неоднородной вдоль волновода. Выше критической частоты будет вещественным и меньшим, чем k.

В самом деле, отказавшись от условия t,h < л/2, можем удовлетворить дисперсионному уравнению (72.7) бесконечным числом решений, при которых t,h > л/2. Критические частоты получатся при помощи построения, показанного на рис. 72.3, выполненного-для случая проводимости типа пружины. Значения (fe/i)„p (точки Ci, «2. • • •) соответствуют критическим частотам для первой, второй, . . . нормальной волны. Этот же график позволяет находить значения t,h для любого заданного значения lih. Абсциссы точек параболы - (pc/x/i) (tih) представляют собой значения tih, а абсциссы последовательных ветвей графика, изображающего функцию tg Zh, представляют собой значения t,h. На графике дано построение, решающее дисперсионное уравнение для данной, частоты, т. е. для заданного значения tih = х. Построение позволяет по данному tih получить соответственное значение t,h = b;. &2. • • • для каждой из ветвей графика, соответствующей каждая отдельной нормальной волне. Для примера, изображенного на графике, первые две волны имеют значения L,h = b, L,h = br меньшие, чем исходное значение lih = х, и, следовательно, для них значения Z вещественны (и меньше ti) и соответственные



нормальные волны распространяющиеся. Для третьей нормальной волны получается значение = большее х и, следовательно, значение чисто мнимое: волна - неоднородная вдоль оси волновода.

В данном случае для волны данного номера I значение а значит и распределение давления поперек волновода, не остается постоянным, как это было при идеальных стенках или стенках в виде сосредоточенной массы, но меняется с изменением частоты.

Ь, а,/

t 1 1 1 / 1

Рис. 72.3. Графическое решение уравнения (72.7) для волновода с упругой стекой для нормальных волн порядка 1, 2, 3,

Из рис. 72.2 видно, что критическое значение (Щр Для нормальной волны номера / всегда лежит между [(2/-1)/2] л и 1л. При безграничном повышении частоты, начиная от критической, величина монотонно уменьшается от значения {kh), стремясь к величине [(2/- 1)/2] л. При бесконечной частоте распределение давления поперек волновода такое же, как для абсолютно мягкой верхней стенки. Число узлов давления по высоте волновода для нормальной волны данного номера равно при любой частоте номеру волны, как это было и в случае волновода с абсолютно жесткими стенками.

Для каждой данной волны фазовая скорость уменьшается при увеличении частоты. Поэтому в дисперсионном уравнении (72.7) от частоты зависят и , и С. так что для волновода с упругой стенкой уже нет такого простого соотношения между фазовой и групповой скоростью, какое имело место для ранее рассмотренных волноводов. Ясно только, что при бесконечном увеличении частоты как фазовая, так и групповая скорости стремятся к скорости звука в неограниченной среде. Так же, как и для случая абсолютно жесткой (или абсолютно мягкой) стенки, фазовая скорость при критической частоте равна бесконечности, и волна в волноводе представляет собой одномерное колебание поперек волновода, синфаз:



ное по всей его длине и совпадающее с колебанием в узкой трубе длиной h с крышкой с проводимостью -ico/x.

Как и для нулевой нормальной волны, для нормальных волн высших порядков также можно получить приближенные решения дисперсионного уравнения для предельных случаев малых и больших частот. Так, для со/соо С 1 из (72.7) следует, что Zh для волны номера / близко к Ы. Полагая = In - г, где е С 1, имеем приближенно

и приближенно

Для ю/соо > 1 из (72.7) следует, что t,h близко к 1(2/- 1)/2] п. Полагая = 1(2/ - 1)/21 л -f- е, где е < 1, имеем приближенно

21- 1

откуда

Теперь перейдем к волноводам с обеими стенками, характеризуемыми нормальной проводимостью. Обозначим входные прово-.димости нижней и верхней стенок через Yo и Yi соответственно. Нормальную волну будем искать в виде (70.1). Граничные условия для нижней и верхней стенок-запишутся в виде

Исключая угол е при помощи тождества tg (t,h -f- е) = (tg t,h + -(- tg e)/(l - tg tg e), получим дисперсионное уравнение в виде

(72.11)

Подробного исследования этого случая проводить здесь не будем. Легко видеть, что при Y = О приходим к уже разобранному случаю волновода с одной импедансной и одной абсолютно жесткой стенкой.

Как и в волноводах с идеальными стенками, нормальные волны в волноводах с импедансными стенками можно также представлять в виде суперпозиции двух плоских волн, бегущих под углами скольжения ±9 к оси волновода, причем угол 9 по-прежнему



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0172