Главная Общая акустика - создание упругих волн



связан с I и £ соотношением (70.11). Уравнение (72.11) можно записать в виде уравнения относительно этого угла в следующем виде:

kh sin е tg {kh Sin 0) = -"ipco/i ---Xf+XL,-.

Фазовая скорость искомой нормальной волны по-прежнему будет задана формулой (70.12), но, за исключением волноводов со стенками в виде сосредоточенных масс, групповую скорость уже нельзя будет найти по простой формуле м = cos 0: это обусловлено зависимостью от частоты.

Хотя нахождение групповой скорости в волноводе с произвольными импедансными стенками требует трудных расчетов, легко показать, что для всех нормальных волн, кроме нулевой, групповая скорость при критической частоте равна нулю. Мы видели, что это справедливо для волноводов с абсолютно жесткими или абсолютно мягкими стенками или со стенками в виде массовой нагрузки. Теперь предположим, что стенки имеют произвольную проводимость. Дисперсионное уравнение*(72.11) определяет как функцию k. На критической частоте - О и = р. При малом отклонении k от критического значения = кр + а, величина также получит некоторое приращение и станет равной кр + где А - конечная величина: А = dtjdk в точке k = fep. Отсюда следует, что значение \ в точке, близкой к критической, равно

I V{K-\-f-{K + Aaf ГШ,

где В - тоже конечная величина. Но в критической точке gp = О-Значит, новое значение I есть приращение dl, соответствующее приращению dk, равному а. Отсюда находим и групповую скорость:

dat da dk а r\ п

что и требовалось доказать.

§ 73. Поглощающие стенки

Если стенки волновода частично поглощают падающий на них звук, то нфмальные волны распространяются в таком волноводе -с затуханием. Если стенки "при этом по-прежнему характеризуются нормальной проводимостью, то это значит, что проводимость не •чисто мнимая, а имеет положительную вещественную часть. Мы покажем, что в этом случае нормальная волна испытывает экспоненциальное затухание по мере распространения. Часто искусственно создают поглощение на стенках труб - искусствен- ных волноводов; например, стенки вентиляционных каналов по-жрывают изнутри звукопоглощающими покрытиями, чтобы умень-.шить передачу шума вдоль каналов.



Заметим, что если бы затухание имелось в самой среде, то нормальные волны также затухали бы экспоненциально, причем затухающие нормальные волны получатся из найденных выше решений просто заменой вещественного волнового числа на волновое число с соответственной мнимой добавкой (см. гл. XII). Покажем, как найти затухание нормальных волн в случае, когда нижняя стенка волновода абсолютно жесткая, а верхняя характеризуется нормальной проводимостью с положительной вещественной частью: К = iX -f R, где /? > 0. Предположим также, что проводимость стенки мала (должны быть выполнены условия 8с \ Y \/kh < 1 и pc\Y\kh <\); тогда форма нормальных волн мало меняется по сравнению со случаем абсолютно жестких стенок и расчет можно вести по уравнениям (72.4) и (72.5), полагая в них проводимость стенки комплексной. Выполняя подстановку, найдем из (72.4) для нулевой нормальной волны

J. , 1 рсХ , . 1 pcR

В выбранном приближении, т. е. с точностью до первого порядка малости относительно рс У kh, наличие вещественной части проводимости не влияет на вещественную часть волнового числа, т. е. не сказывается на фазовой скорости волны. Затухание определяется экспоненциальным множителем ехр -- Ф°Р"

мулы (72.5) получим аналогичное выражение для волнового числа волны номера I:

ё-ёо-- + -7Г- ,

Здесь также наличие затухания не влияет на скорость волн. Коэффициент затухания для нормальных волн высших порядков оказывается больше удвоенного коэффициента затухания для нулевой нормальной волны и растет с увеличением номера нормальной волны пропорционально фазовой скорости. Поэтому при распространении, например, в вентиляционном канале, проводимость стенок которого обычно можно считать малой, волны высших порядков быстро затухнут, волна же нулевого порядка затухнет слабо и сможет передать шум на большое расстояние вдоль канала. Так как подобная передача звука - нежелательное явление, то приходится принимать специальные меры для преобразования нулевой волны в волны высших типов, которые затухают быстрее.

Рассмотрим теперь более общий случай проводимости, не малой по сравнению с проводимостью массы среды в волноводе. Затухание же по-прежнему будем считать малым. Дисперсионное уравнение сохраняет прежнюю форму (72.3), но t,h уже нельзя считать близким к Ы. Предположим, что нормальная волна в отсутствие поглощения на стенках известна и компоненты волновых



чисел плоских волн, образующих нормальную волну в таком волноводе, обозначим через go и 1о = У - й. где Со удовлетворяет уравнению

oft tg Сой = -шрй (iX).

Так как малая вещественная добавка внесет малую поправку и в С, то положим t,h = - С точностью до малых первого порядка по sh, tg t,h = tg Co- ih (I + tg Co)- Сохраняя JB дисперсионном уравнении только первые степени е, найдем

l + tg4oi + (l/So/i)tg&,/i • Но I* 4- (Со - ie) = k. Следовательно, приближенно

S=1АйТад=I.+. гяг«г1тдапш-•

В этом приближении поглощение снова не влияет на скорость волны; поглощение оказывается уменьшенным по сравнению со случаем стенки малой проводимости.

§ 74. Создание гармонического поля в волноводе

До сих порУмы рассматривали только «свободные волны» в волноводе, т. е. волны, способные распространяться в волноводе в отсутствие сторонних воздействий. Практически всегда волны создаются некоторыми «источниками» - сторонними воздействиями. Рассмотрим волны, создаваемые в волноводе заданными распределениями по какому-либо сечению волновода гармонически меняющихся с течением времени сил или х-компонент скорости частиц. Это -• задача об излучении звука в волновод.

Если сторонние давления (или сторонние х-компоненты скорости) распределены в сечении так же, как они распределены в нормальной волне какого-либо номера при той же частоте, то в полуволноводе, прилегающем к этому сечению, побежит нор--мальная волна соответственного номера. Суперпозиция таких распределений по сечению даст в полуволноводе суперпозицию соответственных нормальных волн. Естественно возникает вопрос, получится ли в полуволноводе суперпозиция нормальных волн и для произвольного распределения по излучающему сечению давлений или скоростей частиц. Можно показать, что при стенках волновода, характеризующихся нормальной проводимостью, ответ утвердительный. Не решая этой общей задачи, дадим только способ эффективного нахождения всех создаваемых нормальных волн для простейшего случая волновода с абсолютно жесткими стенками.

Пусть в поперечном сечении волновода х = О задано распределение сторонних давлений П = П (z), не зависящее от коорди-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 [81] 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0829