Главная Общая акустика - создание упругих волн



паты у, и требуется найти поле в правом пьлуволноводе. Разложим функцию П (z) в ряд Фурье по функциям, дающим поперечное распределение давлений в нормальных волнах разных порядков для

данного волновода, т. е. по функциям cos (-zj (/=0, 1, 2, . . .).

Как известно из теории рядов Фурье, эти косинусы образуют лолную ортогональную систему функций на отрезке (О, К), и поэтому любое распределение сторонних давлений (если оно удовлетворяет некоторым условиям, всегда оказывающимся выполненными в случаях, имеющих физический интерес) можно «динственным способом представить в виде такого ряда. Разложение будет иметь вид

n(z) = n„--fniCos-f n,cos-f

п. п.

n„ = -ljn(z)dz, n, = Jn(z)cos-dz (/0).

Но каждому слагаемому ряда можно поставить в соответствие нормальную волну, бегущую в положительном направлении, вида

ft = n,cose.p(«yur(57.).

Следовательно, искомое поле имеет вид

Р = S = S n.cos- ехр [ik уТ1Щх).

В самом деле, мы получили суперпозицию нормальных волн, уходящих от источника и дающих на плоскости jc = О как раз требуемое распределение давления. С другой стороны, поле типа уходящих волн, для которого заданы на границах значения давления или нормальной скорости (в данном случае давление задано на поперечном сечении волновода л: = О, а нормальные скорости - на стенках полуволновода, где они обращаются в нуль), определено однозначно. Значит, найденная суперпозиция нормальных волн является единственным решением данной задачи.

Аналогично можно решить задачу для случая, когда на сечении л: = О задано распределение нормальных скоростей частиц: Vx = и (z). Снова разложим заданное распределение в ряд Фурье по косинусам:

и (г) = f/„ 4- f/icos- -f cos +



и (г) dz, Ui = jI U{z) cos dz {I + 0).

Каждому слагаемому ряда можно поставить в соответствие нормальную волну, бегущую в положительном направлении. В данном случае такая волна будет иметь вид

Pi = PYAcos- ехр \ ik yi - (yJ,

где - фазовая скорость нормальной волны номера I. Искомым полем явится суперпозиция всех найденных таким образом нормальных волн:

pcy J=cos-exp iky-dhYx ]Г I ~ (1л/kh)* h Y ykh) .

Это разложение создаваемого поля по нормальным волнам также-является единственным.

Тот же способ расчета поля можно провести и для волновода с идеально мягкими стенками с той разницей, что в этом случае в качестве полной ортогональной системы на отрезке (О, К) сле-

.дует взять набор синусов sin(- 2 (/=1, 2, . . .). Поэтому и для

такого волновода любое поле, излученное заданным распределением давления или х-компоненты скоростей частиц по поперечному сечению, также может быть, единственным образом представлено в виде суперпозиции нормальных волн данного волновода. То же утверждение верно и для волновода с одной абсолютно жесткой и одной абсолютно мягкой стенкой. Полная ортогональная система функций в этом случае cos (~ nzj (/=1,2,...)

также дается распределениями давления или х-компоненты скоростей частиц в нормальных волнах данного волновода.

Наконец, можно показать, что в волноводе с любыми импедансными стенками функции распределения давлений или х-компо-ненты скоростей частиц для всех нормальных волн образуют полную ортогональную систему функций на отрезке (О, h), хотя эта система функций является набором косинусов некратных дуг. Эти функции имеют вид cos (gz -f е), где все значения Сие определяются из граничных условий. Во всех случаях полнота системы обеспечивает возможность представить данное распределение давления (или х-компоненты скорости частиц) по сечению суперпозицией соответственных распределений по сечению для



нормальных волн данного волновода; поэтому излучаемое поле можно представить в виде суперпозиции убегающих нормальных. волн. Ортогональность же системы обусловливает единственность" такого представления.

Легко доказать ортогональность любых двух различных нормальных волн pi и Ра в волноводе с нормальной проводимостью стенок. Напомним, что ортогональностью называется обращение в нуль интеграла по сечению:

PiP2dz = 0.

Так как -компонента скорости пропорциональна давлению, то условие ортогональности для этой компоненты выражается той же формулой.

Для доказательства справедливости этого равенства напишем раньше всего уравнения, которым удовлетворяют какие-либо две- различные нормальные волны pi и р, в виде

Умножая первое уравнение на р, а второе на pi, вычитая почленно и интегрируя, найдем

Но первый член обращается в нуль в силу импедансных условий на границах волновода. С другой стороны, для разных нормальных волн различны величины i и Ig- Следовательно, должно быть

PiPgdzO,

что и требовалось доказать. Доказательство полноты рассматриваемой системы функций затрагивать не будем.

В получающихся суперпозициях нормальных волн распространяющиеся волны представлены только теми несколькими первыми номерами, для которых < /г (например, в волноводе с абсолютно жесткими стенками - только волнами, номера которых удовлет-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [82] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0112