Главная Общая акустика - создание упругих волн



§ 78. Произвольные свойства стенок

Вернемся к плоской задаче и перейдем к самому общему случаю произвольных механических свойств стенок, когда их нельзя охарактеризовать нормальной проводимостью. Такова, например, стенка в виде упругой пластинки, стенка в виде полупространства какой-либо среды, граничащая с данным слоем, и т. п. Последний случай очень важен в гидроакустике, где слой воды, ограниченный свободной поверхностью с одной стороны и толщей грунта - с другой, можно рассматривать как волновод.

В таких случаях для нахождения нормальных волн требуется знать коэффициент отражения гармонических плоских волн, падающих на стенку под различными углами. Это позволяет найти нормальную волну в виде суперпозиции двухплоских волн с одинаковыми углами скольжения, переходящих одна в другую при отражении на стенках:

р = ехр (ik cos 9-л: + ik sin в-г)+А ехр (ikcos в-х- ik sin Э-г).

Первая из этих волн должна переходить во вторую при отражении от верхней границы, а вторая - в первую при отражении от нижней границы.

Пусть коэффициенты отражения плоских волн данной частоты на нижней и верхней стенках равны соответственно (9) и Vi (Э). Тогда должны выполняться условия:

А ехр {-ikh sin Q) = Vi (6) ехр ikh sin 0

на верхней границе,

Ai/o (9) = 1 на нижней границе.

Исключая А, найдем (ср. с (64.2))

Vo{Q)i/l(Q)e=l. (78.1)

Это и есть дисперсионное уравнение волновода, позволяющее для каждой частоты найти все нормальные волны волновода. Это уравнение относительно угла скольжения 0. Найдя все решения этого уравнения, определим соответственные значения Ф/о Ф) и 1 (0), а значит, и величину А и всю волНу в целом. Фазовая скорость волны выразится через найденный угол скольжения формулой

у = c/cos 0.

Напомним, что групповая скорость вообще не будет равна с cos 9 ввиду наличия дисперсии на стенках.

В качестве примера применим (78.1) к волноводу с абсолютно жесткими стенками. В нем i/o = = 1 и (78.1) примет вид

g2tkh sin 9 1

Его решения суть sin 0 =- =результат, который мы 262



получили в § 71 другим путем. Аналогично при абсолютно мягких стенках V = V = -1, и получается снова такое же дисперсионное уравнение, как и при жестких стенках, с той разницей, что волны нулевого порядка не будет. В самом деле, при / = О соотношение

А = l/Wo = - 1

дает для амплитуды соответственной нормальной волны тождественный нуль.

Для одной жесткой и одной стенки с проводимостью У имеем

sin Q/pc-Y

откуда

0-1. "i-sin e/pc-f F

eiftAsin9 , . sine.

Y =--„... . a-= i-tg(msin6).

pc g2ikh sin e 1 pc

Подставляя в это уравнение вместо kh sin 9 величину t,h, вернемся снова к формуле (72.3).

§ 79. Распространение инфразвука в море. Плоская задача

Результаты предыдущего параграфа применимы к важной за-д.аце о волноводном распространении звука низкой частоты в море. В районах постоянной глубины море можно рассматривать как волновод, ограниченный дном и свободной поверхностью воды. Для низких частот можно пренебрегать неровностями дна и неровностью свободной поверхности, вызванной морским волнением, и считать границы волновода плоскими. Кроме того, можно пренебрегать и неоднородностью среды, вызываемой изменением температуры и гидростатического давления с глубиной. Практически, если при данной частоте возможно распространение лишь нескольких первых номеров нормальных волн, то море можно рассматривать как однородный плоскопараллельный слой, лежащий на упругом полупространстве -- морском грунте. Морской грунт, вообще, - упругое твердое тело, неоднородное по глубине. Найти нормальные волны в волноводе, ограниченном таким упругим телом, весьма сложно. Но некоторые основные черты моря как волновода можно представить себе, упрощая задачу: аппроксимируя грунт жидким однородным полупространством с некоторыми эффективными значениями плотности и сжимаемости. Тогда, пользуясь данными предыдущего параграфа, можНо, ограничиваясь, как и выше, плоской задачей, написать дисперсионное уравнение нормальных волн, исходя из коэффициентов отражения плоских



волн у дна и у поверхности воды. Коэффициент отражения у дна равен

m sin е - jAn" - cos" е

т sin Q + Vrfi- cos" e

где ni - отношение плотности грунта к плотности воды, an - коэффициент преломления грунта относительно воды. Коэффициент отражения от свободной поверхности равен °Vi = -1.

Нас интересуют волны, распространяющиеся в водном слое без затухания. Если звуковая энергия переходит в грунт, то модуль коэффициента отражения от дна меньше единицы, и волна затухает по мере распространения. Поэтому есть смысл рассматривать водный слой как волновод только для таких волн, для которых энергия в грунт не перетекает, т. е. случай \Vа\ = 1-Значит, следует исключить случай п > 1, а также случай п < 1 для углов скольжения 9 плоских волн, образующих нормальную волну, больших критического угла скольжения Q, определяемого уравнением cos = п. Таким образом, лишь при cos 9 > п в слое воды возможно распространение незатухающих нормальных волн.

Найдем дисперсионное уравнение для нормальных волн, удовлетворяющих этому требованию. Коэффициент отражения от нижней границы в этом случае комплексный: •

от sin 9 - t lAcos" 9 - n" " ~ от sin 9 -f i l/"cos2 9 - ra2 "

Подставляя В (78.1), найдем

от sin 9 - i Vcos 9 - от sin 9 + i lcose -

gllkh sin e 1

2i&Asin9-2i arctg

V cos" 9 -

от sm

откуда

Msin6 = gizii„ + arctg-"-» 2 ° от sin 9

(79.1)

где / может принимать значения 1, 2, . . .

При критическом угле скольжения sin = Y\ - из дисперсионного уравнения (79.1) получим уравнение для критической частоты

2/-1



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 [85] 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0429