Главная Общая акустика - создание упругих волн



При критической частоте = 1 и нормальная волна имеет вид р = cos (- яг) ехр (ikpHx)

и, следовательно, то же распределение давления по глубине, что и нормальная волна в волноводе с абсолютно жесткой нижней границей. Однако при этом частота выше критической для волновода с жесткой стенкой в - раз. Фазовая скорость волны при критической частоте конечна, в отличие от волноводов с импедансными стенками. При возрастании частоты от критической угол скольжения для данной нормальной волны убывает и стремится асимптотически к нулю при со оо. При этом коэффициент отражения от грунта стремится к -1 и волновод ведет себя асимптотически как слой, ограниченный двумя абсолютно мягкими границами.

Волновое число нормальной волны при критической частоте равно волновому числу плоской волны в грунте. Значит, при критической частоте фазовая скорость у = c/cos бр = с1п нормальной волны равна скорости звука в грунте. Легко показать, что при этой частоте групповая скорость нормальной волны также равна скорости звука в грунте. В самом деле, обратная величина

групповой скорости равна=а волновое число нормальной

волны можно записать в виде = (со/с) cos 0. Следовательно,

1 1 со , q de -sinG-

и у с da

Но из (79.1) следует

dQ ha

-J- = - 5Ш 9

>c0s9-f-m(l-n)cose

(т sin2 О + cos2 в - п") j/cos" 9 - п"

откуда видно, что при критической частоте, когда Kcos 6 - = = О, величина d9/dco также обращается в нуль. Следовательно, при этом 1/ы = 1/v, что и требовалось показать.

При частоте выше критической dQ/da < О и групповая скорость уменьшается. Значит, скорость звука в грунте есть наибольшая скорость передачи сигнала в таком волноводе.

Это обстоятельство используют для определения скорости звука в морскрм грунте: звук взрыва, произведенного в воде, принимают в воде же на большом расстоянии от места взрыва. «Вступление» сигнала должно соответствовать пробегу этого расстояния со скоростью звука в грунте. Нужно иметь в виду, однако, что амплитуда возбуждения волны в точности на критической частоте равна нулю: при критическом угле скольжения в грунте должна распространяться плоская волна, бегущая вдоль границы, и при конечной амплитуде она несла бы с собой бесконечную энергию. Фактически регистрируется волна, приходящая уже с несколько




меньшей групповой скоростью, для которой угол скольжения меньше критического, и волна в грунте - неоднородная, несущая конечный поток энергии и поэтому возбуждающаяся с конечной амплитудой.

Анализ выражения для групповой скорости показывает, что для каждой нормальной волны для частоты выше критической

групповая скорость сна-У " чала убывает, опускаясь

ниже скорости звука в воде, а затем, после прохождения минимума, снова растет, стремясь при повышении частоты к скорости звука в воде (рис. 79.1). Поэтому каждая нормальная волна с широким спектром даст на большом расстоянии от места возбуждения затянутый сложный сигнал. Например, при дальнем приеме взрыва первое «вступление» придет со скоростью звука в грунте, после чего несущая частота растянутого сигнала будет повышаться. Затем на него належится второе «вступление» сигнала большой частоты, приходящее со скоростью звука в воде; несущая частота этого сигнала убывает с течением времени. Сигнал окончится, когда растущая частота первого и убывающая частота второго сигнала сравняются, что произойдет в момент времени, соответствующий минимальной скорости распространения в море данной нормальной волны.

Рис.;79.1. Дисперсионные кривые нормальной волны некоторого номера в море. «Вступление сигнала» происходит в момент /-/Сгрунта. где L - дистанция от места взрыва до приемника. В момент 1/Своды происходит второе вступление, после которого сигнал приходит как суперпозиция колебаний двух разных частот (например, в момент LIui приходят частоты 0)1 и Шз). Наконец, в момент L/«fni,i сигнал оканчивается.

§ 80. Распространение инфразвука в море* Трехмерная задача

В предыдущем параграфе мы ограничились плоской задачей распространения звука в море, имея целью простейшим способом выяснить влияние границы, которую нельзя охарактеризовать Нормальной проводимостью, на волноводное распространение. Теперь рассмотрим задачу, более реально отвечающую естественным волноводам в виде слоев (морю или атмосфере), -• задачу о радиально-симметричном распространении звука в слое. В этом случае нормальные волны будут стоячими только по вертикальной координате г. Для нахождения нормальных волн придется раньше всего получить волновое уравнение в цилиндрических координатах. Имея в виду в следующем параграфе рассмотреть также в ци-



линдрических координатах задачи, не имеющие такой симметрии, напишем соответственное волновое уравнение в общем виде. Такое уравнение можно было бы получить из декартовой записи путем замены переменных, однако здесь приведем более наглядный вывод, исходящий из векторной записи уравнения. Уравнение Гельмгольца для гармонической волны можно записать в виде

div grad р + kp = 0.

Первый член слева найдем как отношение потока вектора grad р через поверхность элемента среды, ограниченного близкими координатными поверхностями, к оббему этого элемента. В цилиндрических координатах z, г, ф компоненты вектора grad р равны dp/dz, др/дг, др/г др. Объем элемента среды, вырезываемого координатными поверхностями z и z + dz, г я г + dr, ц) и ц) + dtp (рис. 80.1) равен dzdr г d>. Поток, вытекающий из этого объема, равен

±{rdzd.pf)dr + j{drdz-)d(p.

z+iz

г "--

±{rdrd(pf)dz + -

Рис. 80.1. Элемент объема среды в цилиндрических координатах.

Деля на объем элемента, получим

d,vgradp = +S + l±+

и уравнение Гельмгольца примет вид ар , 1 dp , 1 др

(80.1)

Поскольку для радиально-симметричной задачи зависимость от угла отсутствует, можем отбросить в уравнении член с угловой производной и будем искать решение в виде волны, давление в которой равно произведению некоторой функции от вертикальной координаты 2 на некоторую функцию от радиуса г, т. е. р = = Z (z) R (г). Подставляя в (80.1) и разделяя переменные, найдем

Так как слева стоит функция только от 2, а справа - функция только от г, то обе части должны равняться постоянной. Обозначая её-через-С, получим решение для Z в виде стоячей волны по оси г:

Z = cos (Cz -f е),



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 [86] 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0208