Главная Общая акустика - создание упругих волн



т. е. ту же зависимость, что и для плоской волны, Уравнение для R примет вид

- уравнение для бесселевых функций нулевого порядка. Волна, бегущая от центра, выразится через ханкелеву функцию первого

рода: R = Нд (]/" - t, г]. Таким образом, искомая нормальная волна есть

р = Ро cos (Сг + е) (]/" г] .

Формула полностью аналогична выражению (70.3), с той разницей, что бегущая плоская волна заменена бегущей цилиндрической волной. Величины Сие найдутся из граничных условий: они будут совпадать со значениями для соответственной плоской волны той же частоты, бегущей в том же волноводе. Для цилиндрических и плоских нормальных волн будут совпадать дисперсионные уравнения, нумерация нормальных волн, распределение давлений и компонент скоростей частиц. Различаться будут только закон спадания поля с расстоянием и набег фазы.вблизи начала координат. В цилиндрической волне происходит спадание амплитуды асимптотически как 1/Кг, в то время как двухмерная волна в слое свою амплитуду сохраняет. На больших дистанциях набег фазы нарастает одинаково для обоих типов волн.

Не имеет аналога для двухмерных волн особенность давления на оси г = О (логарифмическая особенность функции Ханкеля нулевого порядка). Она указывает на наличие «сторонних воздействий» в области вблизи оси. Действительно, для двухмерных волн данная нормальная волна приходит из «минус-бесконечности»; но для цилиндрической волны «минус-бесконечности» нет: волна приходит из начала координат. Требуемое «стороннее воздействие» найдем так: радиальная скорость частиц вблизи оси есть

t>,= -Lf J-.cos(Cz-fe)l.

Поместив на оси цилиндр, поверхность которого пульсирует со скоростями Vr, т. е. цилиндр, вытесняющий среду, для каждого слоя высоты dz со скоростью

V = =cos(Zze)dz

(для малых гзто распределение не зависит от г), получим нормальную скорость на поверхности цилиндра, равную нормальной скорости в найденной волне. Поэтому, заменяя цилиндрический участок среды вблизи оси таким пульсирующим цилиндром, придем к представлению об излучении цилиндрической нормальной волны в слой (ср. § 74).



§ 81. Круглая труба как волновод

Рассмотрим теперь волноводы с круговым сечением. Они важны ввиду широкого распространения в технике круглых труб. Направим ось X цилиндрической системы координат х, г, ф по оси трубы и будем искать нормальные волны в виде / (г, ф) е. Подставляя в (80.1), в котором 2 заменено на х, получим уравнение для /:

- + 4 + + (-)/ = 0. (81.1)

Но зависимость от полярного угла должна, из физических соображений, быть периодической, с периодом, кратным 2я. Каждый коэффициент кратности даст волны с другим распределением поля по углу. Для каждого коэффициента кратности / зависимость от полярного угла можно выбрать в виде cos /ф или sin /ф. Полагая f = R (г) cos /ф или f = R (г) sin /ф, получим из (81.1) уравнение для R:

+ + 2 lj;0. (81.2)

Это - известное уравнение для бесселевых функций порядка /. Из физических соображений из двух линейно независимых решений этого уравнения (г) и Nt {t,r), где t, = - следует выбрать первое, так как только оно остается конечным в центре трубы (для кольцевой трубы следовало бы взять вообще оба решения). Итак, нормальные волны в круглой трубе можно представить в виде

р = У, (г) ехр (i Vk - х) Tos / ф2 p = J, (tr) ехр {i yW x) Sin / ф.

В простейшем случае радиальной симметрии получаем нормальную волну][нулевого углового номера / = 0:

p = /o(r)exp(iK;c).

Значения набора радиально-симметричных волн определятся граничными условиями. Наиболее важен случай жестких стенок трубы, т. е. случай равенства нулю радиальной скорости на границе. Обозначаярадиус трубы через а, получим следующее граничное условие:

Корни этого уравнения - нули бесселевой функции nefвого порядка: 0; 3,83; 7,02; 10,17; 13,32, . . . Волновые числа \ нор-



мальных волн будут, таким образом, равны соответственно k\ Yk- (3,83/а)2; у (7,02/а)2 . . . Решение l = k соответствует нормальной волне е**; это - плоская волна, которая может распространяться в волноводе с любой формой сечения, если стенки его абсолютно жесткие. Последовательные номера найденных корней (не считая С == 0) - радиальные номера волн - дают число узловых окружностей радиальной скорости; они имеют одно и то же положение для волны данного радиального номера при любой частоте. Радиус сечения делится этими окружностями в отношении последовательных нулей бесселевой функции первого порядка; стенка трубы соответствует нулю номера, равного радиальному номеру волны.

Критические частоты соответствуют g = О, т. е. на критической частоте величина ka равна соответственному нулю бесселевой функции. Например, при критической частоте первой нормальной волны ka = 3,83. При этом длина волны звука Я = 1,62а или а = 0,61Х. Разность последовательных критических значений ka стремится к я по мере возрастания номера волны. На критических частотах колебания чисто радиальные {радиальный резонанс). Ниже критической частоты - чисто мнимое, распростра-•нение волны прекращается и нормальная волна делается неоднородной вдоль оси волновода.

Распределение давлений и осевых скоростей по радиусу дается бесселевой функцией нулевого номера. В целом эта зависимость похожа на косинусоиду, за исключением участка малых t,r, и с тем отличием, что амплитуда осцилляции не остается постоянной, а убывает с увеличением радиуса (асимптотически - как У г). Зависимость фазовых и групповых скоростей от /feajимеет тот же характер, что и зависимость от kh для плоского волновода. На критических частотах фазовые скорости обращаются в бесконечность, а групповые - в нуль; при стремлении частоты к бесконечности обе скорости стремятся к с сверху и снизу соответственно.

Нормальные волны следующего углового номера (/ = 1) уже не имеют осевой симметрии.

p = Ji {tr) ехр {iYf - l х) cos ф

p = Jx Цг) ехр [i yk - l? х) sin ф.

На оси нормальной волны первого углового и высших угловых номеров всегда лежит нуль давления. Каждому угловому номеру соответствует целый набор радиальных номеров, имеющих, как и в волне нулевого углового номера, различные распределения поля по радиусу. Первые критические частоты нормальных волн углового номера I = 1 соответствуют значенияма = 1,84; 5,33; 8,54, ...



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 [87] 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163


0.0137